BharatExams.in — Railway Special • Module 3
📐 गणित — सम्पूर्ण अध्ययन नोट्स
Mathematics — Complete Formula Sheet & Shortcuts
RRB NTPC • Group D • ALP • Technician • RPF — सभी Railway परीक्षाओं हेतु
📋 इस Module में क्या है?
✅ संख्या पद्धति (Number System)
✅ LCM & HCF
✅ प्रतिशत (Percentage)
✅ लाभ-हानि (Profit & Loss)
✅ साधारण & चक्रवृद्धि ब्याज
✅ अनुपात & समानुपात
✅ औसत (Average)
✅ समय & कार्य
✅ चाल, दूरी & समय
✅ क्षेत्रमिति (Mensuration)
✅ त्रिकोणमिति (Trigonometry)
✅ Statistics & DI
📌 Chapter 1: संख्या पद्धति (Number System)
| संख्या का प्रकार | परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ (Natural) | 1 से अनंत तक की गणना संख्याएँ | 1, 2, 3, 4, ... |
| पूर्ण संख्याएँ (Whole) | 0 सहित प्राकृत संख्याएँ | 0, 1, 2, 3, ... |
| पूर्णांक (Integers) | ऋणात्मक + शून्य + धनात्मक | ...-2, -1, 0, 1, 2... |
| अभाज्य संख्या (Prime) | केवल 1 और स्वयं से विभाज्य | 2, 3, 5, 7, 11, 13... |
| भाज्य संख्या (Composite) | 1 से अधिक गुणनखंड वाली | 4, 6, 8, 9, 10... |
⚡ महत्वपूर्ण Shortcuts — Number System:
- 1 से 30 तक अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (कुल 10)
- विभाज्यता नियम 2: अंतिम अंक सम हो (0,2,4,6,8)
- विभाज्यता नियम 3: सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य
- विभाज्यता नियम 4: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य
- विभाज्यता नियम 9: सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य
- विभाज्यता नियम 11: (सम स्थान अंकों का योग) − (विषम स्थान) = 0 या 11 का गुणज
- n प्राकृत संख्याओं का योग: n(n+1)/2
- n विषम संख्याओं का योग: n²
- n सम संख्याओं का योग: n(n+1)
📌 Chapter 2: HCF & LCM (महतम समापवर्तक & लघुत्तम समापवर्त्य)
सूत्र (Formulas):
HCF × LCM = A × B
(दो संख्याओं के लिए)
(दो संख्याओं के लिए)
LCM = (A × B) / HCF
| Application / प्रयोग | HCF का उपयोग | LCM का उपयोग |
|---|---|---|
| Problem Type | सबसे बड़ी संख्या जो सभी संख्याओं को विभाजित करे; समान रूप से बाँटना | सबसे छोटी संख्या जो सभी से विभाज्य हो; घंटियाँ, बैठकें एक साथ |
| Keyword | "सबसे बड़ी", "अधिकतम टाइल", "अधिकतम डिब्बा" | "सबसे छोटी", "पहली बार एक साथ", "न्यूनतम दूरी" |
| Railway Star | ★★★★ | ★★★★★ |
📌 Chapter 3: प्रतिशत (Percentage)
📊 महत्वपूर्ण Fraction ↔ Percentage Conversion:
1/2
50%
50%
1/3
33.33%
33.33%
1/4
25%
25%
1/5
20%
20%
1/6
16.67%
16.67%
1/7
14.28%
14.28%
1/8
12.5%
12.5%
1/9
11.11%
11.11%
1/10
10%
10%
1/11
9.09%
9.09%
1/12
8.33%
8.33%
1/20
5%
5%
3/4
75%
75%
2/3
66.67%
66.67%
4/5
80%
80%
⚡ Percentage Shortcut Formulas:
- A का x% = (A × x) / 100
- यदि A, B से x% अधिक है: B = A × 100/(100+x)
- यदि A, B से x% कम है: B = A × 100/(100−x)
- दो क्रमिक % परिवर्तन (a% तथा b%): कुल परिवर्तन = a + b + (ab/100)%
- Population Formula: P_n = P₀ × (1 + r/100)ⁿ
📌 Chapter 4: लाभ और हानि (Profit & Loss)
🔑 मूल सूत्र:
CP = Cost Price (क्रय मूल्य)
SP = Selling Price (विक्रय मूल्य)
Profit = SP − CP
Loss = CP − SP
SP = Selling Price (विक्रय मूल्य)
Profit = SP − CP
Loss = CP − SP
Profit% = (Profit/CP) × 100
Loss% = (Loss/CP) × 100
SP = CP × (100+P%)/100
CP = SP × 100/(100+P%)
Loss% = (Loss/CP) × 100
SP = CP × (100+P%)/100
CP = SP × 100/(100+P%)
| Shortcut | सूत्र / Formula | Note |
|---|---|---|
| समान CP पर दो वस्तुएँ, एक P% लाभ दूसरी P% हानि पर बेचना | सदा हानि = P²/100 % | e.g. 20% gain + 20% loss → 4% loss |
| Discount (छूट) | Discount% = (MP−SP)/MP × 100 | MP = Marked Price |
| Successive Discount d₁ & d₂ | = d₁ + d₂ − (d₁×d₂/100)% | Net Single Discount |
| Dishonest Shopkeeper (झूठे बाट) | Profit% = (True − False)/False × 100 | Weight fraud |
📌 Chapter 5: साधारण & चक्रवृद्धि ब्याज (SI & CI)
📘 साधारण ब्याज (Simple Interest)
SI = (P × R × T) / 100
A = P + SI = P(1 + RT/100)
P = Principal (मूलधन)
R = Rate (दर) % प्रति वर्ष
T = Time (समय) वर्षों में
A = P + SI = P(1 + RT/100)
P = Principal (मूलधन)
R = Rate (दर) % प्रति वर्ष
T = Time (समय) वर्षों में
📗 चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest)
A = P(1 + R/100)ⁿ
CI = A − P
n = number of years
Half-yearly: A = P(1 + R/200)²ⁿ
Quarterly: A = P(1 + R/400)⁴ⁿ
CI = A − P
n = number of years
Half-yearly: A = P(1 + R/200)²ⁿ
Quarterly: A = P(1 + R/400)⁴ⁿ
⚡ SI vs CI Quick Comparison (Same P, R, T):
- 2 वर्ष: CI − SI = P(R/100)²
- 3 वर्ष: CI − SI = P(R/100)²(3 + R/100)
- CI सदा SI से अधिक होता है (यदि R > 0)
- Rule of 72: पैसा दोगुना होने में लगभग 72/R वर्ष
📌 Chapter 6: अनुपात & समानुपात (Ratio & Proportion)
मूल सूत्र एवं शॉर्टकट:
a:b = a/b
यदि a:b = c:d (समानुपात) → ad = bc
Compounded Ratio: a:b और c:d → ac:bd
Duplicate Ratio: a:b → a²:b²
यदि a:b = c:d (समानुपात) → ad = bc
Compounded Ratio: a:b और c:d → ac:bd
Duplicate Ratio: a:b → a²:b²
Sub-duplicate Ratio: a:b → √a:√b
Inverse Ratio: a:b → b:a
Triplicate Ratio: a:b → a³:b³
Partner में लाभ: पूँजी × समय के अनुपात में
Inverse Ratio: a:b → b:a
Triplicate Ratio: a:b → a³:b³
Partner में लाभ: पूँजी × समय के अनुपात में
⚡ Mixture & Alligation (मिश्रण):
- Alligation Rule: (Cheaper − Mean) : (Mean − Dearer) = Dearer Qty : Cheaper Qty
- Replacement Formula: Final concentration = C × (1 − x/V)ⁿ
C=initial conc, x=replaced qty, V=total volume, n=times - कुल राशि k भागों में a:b:c में बाँटना: प्रत्येक = k × (part)/(a+b+c)
📌 Chapter 7: औसत (Average)
सूत्र एवं शॉर्टकट:
Average = कुल राशि / कुल वस्तुओं की संख्या
नया औसत (एक संख्या जोड़ने पर): नया औसत = (n × पुराना औसत + नई संख्या) / (n+1)
n क्रमागत संख्याओं का औसत: (पहली + अंतिम) / 2
n विषम संख्याओं का औसत: n-वाँ विषम संख्या = 2n−1; औसत = n
1 से n तक का औसत: (n+1)/2
नया औसत (एक संख्या जोड़ने पर): नया औसत = (n × पुराना औसत + नई संख्या) / (n+1)
n क्रमागत संख्याओं का औसत: (पहली + अंतिम) / 2
n विषम संख्याओं का औसत: n-वाँ विषम संख्या = 2n−1; औसत = n
1 से n तक का औसत: (n+1)/2
📌 Chapter 8: समय & कार्य (Time & Work)
📋 मूल सिद्धान्त:
यदि A, n दिनों में काम करे → A का 1 दिन का काम = 1/n
A और B मिलकर करें → 1 दिन = 1/A + 1/B → साथ मिलकर AB/(A+B) दिन
A, B से 2 गुना तेज → A अकेले A/3 दिन में करेगा (B, A दोगुना समय ले)
A और B मिलकर करें → 1 दिन = 1/A + 1/B → साथ मिलकर AB/(A+B) दिन
A, B से 2 गुना तेज → A अकेले A/3 दिन में करेगा (B, A दोगुना समय ले)
| Problem Type | Formula / Shortcut |
|---|---|
| A और B मिलकर काम करें, A बीच में छोड़ दे | Total work = LCM(A,B); units/day calculate करें |
| Pipes and Cisterns (नल & टंकी) | Inlet +, Outlet −; Net rate से time = 1/net_rate |
| Efficiency Ratio (दक्षता) | यदि A:B दक्षता = m:n → समय = n:m (inverse) |
| M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂ (Work constant) | M=Men, D=Days, H=Hours/day; सभी आपस में inverse proportion |
📌 Chapter 9: चाल, दूरी & समय (Speed, Distance & Time)
🔑 मूल सूत्र:
Distance
= Speed × Time
= Speed × Time
Speed
= Distance / Time
= Distance / Time
Time
= Distance / Speed
= Distance / Speed
| Problem Type | Formula / Shortcut | Example |
|---|---|---|
| Conversion | km/h → m/s: × 5/18 m/s → km/h: × 18/5 | 72 km/h = 20 m/s |
| Average Speed | = 2uv/(u+v) [same distance] | u=40, v=60 → 48 km/h |
| Train crosses Pole | Time = Train Length / Speed | 100m train, 20m/s → 5 sec |
| Train crosses Platform | Time = (Train + Platform) / Speed | T+P / Speed |
| Two Trains Same Direction | Relative Speed = S₁ − S₂ | 60−40 = 20 km/h |
| Two Trains Opposite Direction | Relative Speed = S₁ + S₂ | 60+40 = 100 km/h |
| Boat Upstream / Downstream | DS = B+S; US = B−S B = (DS+US)/2; S = (DS−US)/2 | B=boat, S=stream |
📌 Chapter 10: क्षेत्रमिति (Mensuration)
10.1 द्विविमीय आकृतियाँ (2D Shapes)
| आकृति | क्षेत्रफल (Area) | परिमाप (Perimeter) |
|---|---|---|
| वर्ग (Square) | a² | 4a |
| आयत (Rectangle) | l × b | 2(l+b) |
| त्रिभुज (Triangle) | ½ × base × height Heron: √s(s-a)(s-b)(s-c) | a+b+c |
| समबाहु त्रिभुज (Equilateral) | (√3/4)a² | 3a |
| वृत्त (Circle) | πr² | 2πr |
| अर्धवृत्त (Semicircle) | πr²/2 | πr + 2r |
| समान्तर चतुर्भुज | base × height | 2(a+b) |
| समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium) | ½ × (a+b) × h | a+b+c+d |
| विषमकोण (Rhombus) | ½ × d₁ × d₂ | 4a |
10.2 त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Shapes)
| आकृति | आयतन (Volume) | पृष्ठ क्षेत्रफल (Surface Area) |
|---|---|---|
| घन (Cube) | a³ | TSA = 6a²; LSA = 4a² |
| घनाभ (Cuboid) | l×b×h | TSA = 2(lb+bh+hl); LSA = 2h(l+b) |
| बेलन (Cylinder) | πr²h | TSA = 2πr(r+h); CSA = 2πrh |
| शंकु (Cone) | ⅓πr²h | TSA = πr(r+l); CSA = πrl; l=√(r²+h²) |
| गोला (Sphere) | 4/3 πr³ | 4πr² |
| अर्धगोला (Hemisphere) | ⅔πr³ | TSA = 3πr²; CSA = 2πr² |
📌 Chapter 11: बीजगणित (Algebra)
📐 Important Algebraic Identities:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
यदि a+b+c=0: a³+b³+c³ = 3abc
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
यदि a+b+c=0: a³+b³+c³ = 3abc
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
📌 Chapter 12: त्रिकोणमिति (Trigonometry)
| कोण (Angle) | sin | cos | tan | cosec | sec | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ | 0 |
⚡ Trigonometry याद करने का Trick:
- sin Trick (0°,30°,45°,60°,90°): √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, ½, 1/√2, √3/2, 1
- cos: उल्टा = 1, √3/2, 1/√2, ½, 0
- Pythagorean Identities: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ
- Height & Distance: tan θ = Perpendicular/Base (Angle of Elevation/Depression)
📌 Chapter 13: ज्यामिति (Geometry)
| Theorem / नियम | Statement | Railway Importance |
|---|---|---|
| Pythagoras Theorem | H² = P² + B² (समकोण त्रिभुज) | ★★★★★ |
| त्रिभुज का कोण योग | तीनों कोणों का योग = 180° | ★★★★★ |
| Exterior Angle Theorem | बाह्य कोण = दो अन्तः कोणों का योग | ★★★★ |
| Congruence (SAS, ASA, SSS, RHS) | दो त्रिभुज सर्वांगसम होने के नियम | ★★★ |
| Similarity (AA, SAS, SSS) | समरूप त्रिभुज: अनुपात में भुजाएँ | ★★★★ |
| Circle Theorems | केन्द्र का कोण = परिधि के कोण का 2×; अर्धवृत्त में 90° | ★★★★ |
| Pythagorean Triplets | 3,4,5 | 5,12,13 | 8,15,17 | 7,24,25 | ★★★★★ |
📌 Chapter 14: Statistics & Data Interpretation
📊 Central Tendency (केन्द्रीय प्रवृत्ति):
Mean (माध्य)
= Σx / n
सभी मानों का औसत
= Σx / n
सभी मानों का औसत
Median (मध्यिका)
= मध्य मान
n odd: (n+1)/2; n even: avg of n/2 & n/2+1
= मध्य मान
n odd: (n+1)/2; n even: avg of n/2 & n/2+1
Mode (बहुलक)
= सबसे अधिक बार आने वाला मान
= सबसे अधिक बार आने वाला मान
📈 DI Shortcuts (Data Interpretation):
- % Change = (New − Old) / Old × 100
- Ratio: हमेशा सरलतम रूप में लिखें
- Bar Graph: ऊँचाई से मान पढ़ें; तुलनात्मक प्रश्न
- Pie Chart: कोण = (मान/कुल) × 360°; % = (मान/कुल) × 100
- Line Graph: ढलान = परिवर्तन की दर
📌 Chapter 15: सरलीकरण & Number Series
⚡ BODMAS Rule + Perfect Squares/Cubes:
BODMAS: Brackets → Of → Division → Multiplication → Addition → Subtraction
Perfect Squares (1–25):
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625
Perfect Squares (1–25):
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625
Perfect Cubes (1–15):
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728,2197,2744,3375
Square Root Tricks:
√2 ≈ 1.414; √3 ≈ 1.732; √5 ≈ 2.236; √6 ≈ 2.449; √7 ≈ 2.646
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728,2197,2744,3375
Square Root Tricks:
√2 ≈ 1.414; √3 ≈ 1.732; √5 ≈ 2.236; √6 ≈ 2.449; √7 ≈ 2.646
| Number Series Type | Pattern | Example |
|---|---|---|
| Arithmetic (AP) | समान अंतर (Common Difference) | 2, 5, 8, 11, ... (d=3) |
| Geometric (GP) | समान अनुपात (Common Ratio) | 2, 6, 18, 54, ... (r=3) |
| Square Series | 1², 2², 3², ... | 1, 4, 9, 16, 25, 36... |
| Cube Series | 1³, 2³, 3³, ... | 1, 8, 27, 64, 125... |
| Fibonacci | पिछले दो का योग | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... |
| Mixed Series | दो अलग Patterns | 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9 (odd/even अलग) |
⚡ Module 3 — Quick Revision: Mathematics
✅ SI = PRT/100; CI = P(1+R/100)ⁿ − P
✅ Speed: km/h→m/s ×5/18; m/s→km/h ×18/5
✅ HCF×LCM = A×B; Train: Same dir = S₁−S₂
✅ Profit%/Loss% हमेशा CP पर; P²/100 loss rule
✅ Circle: Area πr², Perimeter 2πr
✅ Cylinder Vol = πr²h; Cone = ⅓πr²h; Sphere = 4/3πr³
✅ Pythagorean Triplets: 3,4,5 | 5,12,13 | 8,15,17
✅ sin30°=½, sin45°=1/√2, sin60°=√3/2
✅ (a+b)² = a²+2ab+b²; (a+b)(a-b) = a²-b²
✅ Average Speed (same dist) = 2uv/(u+v)
अगला Module: Module 4 — Reasoning Complete Notes (~5,000 शब्द) के लिए "CONTINUE MODULE 4" कहें।