बिहार पुलिस SI · मुख्य परीक्षा — पेपर 2 (सामान्य अध्ययन) · अध्याय 6

गणित: अंकगणित

Mathematics: Arithmetic

संख्या पद्धति, भिन्न, घातांक, वर्गमूल-घनमूल, अनुपात-समानुपात, प्रतिशत, लाभ-हानि, बट्टा, साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज।

परीक्षा में: 10–12 प्रश्न 27 मिनट

1. अध्याय एक नज़र में

मुख्य परीक्षा पेपर 2 में गणित से लगभग 18 प्रश्न आते हैं और ये मेरिट में सबसे बड़ा अंतर पैदा करते हैं, क्योंकि जिसे विधि आती है वह पूरे अंक ले जाता है। BPSSC पाठ्यक्रम के गणित विषय हैं — संख्या पद्धति, भिन्न, घातांक, वर्ग-घनमूल, बीजगणित, अनुपात-समानुपात, प्रतिशत, लाभ-हानि, बट्टा (छूट), साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज, औसत, समय-कार्य, समय-दूरी, क्षेत्रमिति, ज्यामिति और आँकड़ों का विश्लेषण। स्तर कक्षा 10 तक का है। इस अध्याय में अंकगणित और बीजगणित को सूत्र, शॉर्टकट और हल किए गए उदाहरणों के साथ पढ़ेंगे; ज्यामिति, क्षेत्रमिति और आँकड़े अगले अध्याय में।

तैयारी की रणनीति
  • पहले मूल सूत्र याद करें (इस अध्याय की मास्टर सूत्र सारणी), फिर हर विषय के 20–25 प्रश्न हल करें।
  • 1 से 30 तक के वर्ग, 1 से 20 तक के घन और 1/2 से 1/20 तक भिन्नों के प्रतिशत मान याद करें — गणना की गति दोगुनी हो जाती है।
  • परीक्षा में विकल्पों का उपयोग करें — कई बार विकल्प को प्रश्न में रखकर जाँचना सबसे तेज़ होता है।
  • गलत उत्तर पर 0.2 अंक कटते हैं, पर सही पर 2 मिलते हैं — दो विकल्प हटा सकें तो उत्तर देना लाभदायक है।

2. संख्या पद्धति

  • प्राकृत संख्याएँ — 1, 2, 3, ...; पूर्ण संख्याएँ — 0, 1, 2, ...; पूर्णांक — ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...; परिमेय — p/q रूप (q ≠ 0), जिनका दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती हो (0.5, 0.333...); अपरिमेय — √2, √3, π (अनवसानी, अनावर्ती); वास्तविक = परिमेय + अपरिमेय।
  • अभाज्य संख्या — केवल 1 और स्वयं से विभाज्य (2, 3, 5, 7, 11, ...); 2 एकमात्र सम अभाज्य; 1 न अभाज्य न भाज्य। 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ। सह-अभाज्य — जिनका HCF 1 हो (8 और 15)।
  • विभाज्यता के नियम — 2: इकाई अंक सम; 3: अंकों का योग 3 से विभाज्य; 4: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य; 5: इकाई 0 या 5; 6: 2 और 3 दोनों से; 8: अंतिम तीन अंक 8 से; 9: अंकों का योग 9 से; 11: विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज।
  • उदाहरण: 3,52,836 क्या 11 से विभाज्य है? विषम स्थान (दाएँ से 1, 3, 5) — 6 + 8 + 5 = 19; सम स्थान — 3 + 2 + 3 = 8; अंतर 11 → हाँ।
  • इकाई अंक (Unit digit) — घातों का चक्र: 2 → 2, 4, 8, 6; 3 → 3, 9, 7, 1; 7 → 7, 9, 3, 1; 8 → 8, 4, 2, 6 (चक्र 4 का); 0, 1, 5, 6 — सदा वही; 4 और 9 — चक्र 2 का। उदाहरण: 7²⁵ का इकाई अंक → 25 ÷ 4 शेष 1 → 7।
  • शेषफल प्रमेय (सरल) — (a × b) का n से शेष = (a का शेष × b का शेष) का n से शेष।
  • प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2; वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1)/6; घनों का योग = [n(n + 1)/2]²; प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²; प्रथम n सम संख्याओं का योग = n(n + 1)।
🎯 हल किया गया उदाहरण

प्रश्न: 1 से 50 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग कितना है?
हल: n(n + 1)/2 = 50 × 51/2 = 1275।

3. LCM एवं HCF; भिन्न

  • HCF (महत्तम समापवर्तक) — वह सबसे बड़ी संख्या जो सभी को पूरा विभाजित करे। LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) — वह सबसे छोटी संख्या जो सभी से पूरी विभाजित हो।
  • दो संख्याओं के लिए: पहली × दूसरी = HCF × LCM।
  • भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM; भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF।
  • अनुप्रयोग — "वह सबसे बड़ी संख्या जिससे भाग देने पर हर बार शेष r बचे" → (संख्याएँ − r) का HCF। "वह सबसे छोटी संख्या जिसे a, b, c से भाग देने पर हर बार r शेष बचे" → LCM + r। "घंटियाँ एक साथ कब बजेंगी" → LCM।
  • भिन्न — उचित (अंश < हर), विषम (अंश > हर), मिश्र (2½)। भिन्नों की तुलना — वज्र गुणन: 3/7 और 4/9 → 3 × 9 = 27, 4 × 7 = 28 → 4/9 बड़ा।
  • आवर्ती दशमलव को भिन्न में — 0.3̄ = 3/9 = 1/3; 0.4̄5̄ = 45/99 = 5/11; 0.12̄ (केवल 2 आवर्ती) = (12 − 1)/90 = 11/90।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 180 है। एक संख्या 36 है, दूसरी? → 12 × 180 ÷ 36 = 60।
(2) तीन घंटियाँ 6, 8 और 12 मिनट के अंतर पर बजती हैं। सुबह 8 बजे एक साथ बजीं, फिर कब एक साथ बजेंगी? → LCM(6, 8, 12) = 24 मिनट → 8:24 बजे।
(3) वह सबसे छोटी संख्या जिसे 12, 15, 20 से भाग देने पर हर बार 5 शेष बचे? → LCM = 60; 60 + 5 = 65।

4. घातांक, करणी, वर्ग एवं घनमूल

  • घातांक के नियम — aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(1/n) = ⁿ√a।
  • उदाहरण: 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴ = 2⁴ = 16; (27)^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9; (1/4)^(−1/2) = 4^(1/2) = 2।
  • वर्गमूल — अभाज्य गुणनखंड विधि: √1764 = √(2² × 3² × 7²) = 2 × 3 × 7 = 42। पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी 2, 3, 7, 8 नहीं होता।
  • घनमूल — ∛2744 = ∛(2³ × 7³) = 14। शॉर्टकट (पूर्ण घन के लिए): अंतिम तीन अंक का इकाई अंक घनमूल का इकाई अंक तय करता है (1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9); बाक़ी भाग से दहाई अंक। उदाहरण ∛17576: अंतिम अंक 6 → इकाई 6; 17 → 2³ = 8 < 17 < 27 → दहाई 2 → 26।
  • दशमलव का वर्गमूल — √0.0049 = 0.07; √1.21 = 1.1।
  • करणी का परिमेयकरण — 1/(√3 + √2) = (√3 − √2)/(3 − 2) = √3 − √2।

5. सरलीकरण (BODMAS)

क्रम — Brackets (कोष्ठक: पहले छोटा (), फिर {}, फिर []) → Of (का) → Division (भाग) → Multiplication (गुणा) → Addition (जोड़) → Subtraction (घटाव)। "का" का अर्थ गुणा है पर यह भाग से पहले होता है।

🎯 हल किया गया उदाहरण

प्रश्न: 48 ÷ 4 का 3 + 6 × 2 − 5 = ?
हल: पहले "का": 4 का 3 = 12 → 48 ÷ 12 = 4 → 6 × 2 = 12 → 4 + 12 − 5 = 11।

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (सरलीकरण में बहुत उपयोगी) — (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b); (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc।

🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) 105² = ? → (100 + 5)² = 10000 + 1000 + 25 = 11025।
(2) 67² − 33² = ? → (67 + 33)(67 − 33) = 100 × 34 = 3400।
(3) यदि x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² = ? → (x + 1/x)² − 2 = 25 − 2 = 23।

6. बीजगणित — रैखिक समीकरण

  • एक चर का रैखिक समीकरण: 3x + 7 = 22 → 3x = 15 → x = 5।
  • दो चरों के समीकरण — प्रतिस्थापन या विलोपन विधि। a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ — अद्वितीय हल तब जब a₁/a₂ ≠ b₁/b₂; कोई हल नहीं तब जब a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ); अनंत हल जब तीनों अनुपात बराबर।
  • द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 — मूल = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a; मूलों का योग = −b/a, गुणनफल = c/a; विविक्तकर D = b² − 4ac (D > 0 — दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 — बराबर मूल, D < 0 — वास्तविक मूल नहीं)।
  • उम्र वाले प्रश्न — वर्तमान उम्र x मानें; "5 वर्ष पहले" = x − 5; "5 वर्ष बाद" = x + 5।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) दो संख्याओं का योग 50 और अंतर 14 है। संख्याएँ? → बड़ी = (50 + 14)/2 = 32, छोटी = (50 − 14)/2 = 18।
(2) पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की दोगुनी होगी। पुत्र की वर्तमान आयु? → पुत्र x, पिता 3x; 3x + 10 = 2(x + 10) → 3x + 10 = 2x + 20 → x = 10 वर्ष (पिता 30)।
(3) x² − 7x + 12 = 0 के मूल? → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3, 4 (योग 7 = −b/a ✓, गुणनफल 12 = c/a ✓)।

7. अनुपात-समानुपात एवं साझेदारी

  • अनुपात a : b = a/b (एक ही प्रकार की राशियाँ, एक ही इकाई में)। समानुपात — a : b :: c : d तो ad = bc (बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल)।
  • मध्यानुपाती (a और b का) = √(ab); तृतीयानुपाती (a, b का) = b²/a; चतुर्थानुपाती (a, b, c का) = bc/a।
  • दो अनुपात जोड़ना: a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5 → b को बराबर करें (12): a : b : c = 8 : 12 : 15।
  • कोई राशि A को a : b में बाँटना → पहला भाग = A × a/(a + b)।
  • साझेदारी — लाभ का अनुपात = (पूँजी × समय) का अनुपात।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) ₹1800 को A, B, C में 2 : 3 : 4 में बाँटें। C का भाग? → 1800 × 4/9 = ₹800।
(2) 9 और 16 का मध्यानुपाती? → √(9 × 16) = 12।
(3) A ने ₹5000 12 महीने के लिए और B ने ₹6000 8 महीने के लिए लगाए। ₹5400 लाभ में B का भाग? → 5000 × 12 : 6000 × 8 = 60000 : 48000 = 5 : 4 → B = 5400 × 4/9 = ₹2400।

8. प्रतिशत

  • प्रतिशत = (भाग ÷ पूर्ण) × 100। x का y% = x × y/100।
  • महत्वपूर्ण भिन्न-प्रतिशत: 1/2 = 50%, 1/3 = 33⅓%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20%, 1/6 = 16⅔%, 1/7 ≈ 14.28%, 1/8 = 12.5%, 1/9 = 11.11%, 1/10 = 10%, 1/11 = 9.09%, 1/12 = 8⅓%, 1/16 = 6.25%, 1/20 = 5%।
  • कोई राशि x% बढ़े फिर y% बढ़े → कुल परिवर्तन = x + y + xy/100 (घटने पर ऋणात्मक चिह्न)। x% बढ़कर x% घटे → सदा x²/100 % हानि।
  • A, B से x% अधिक है → B, A से [x/(100 + x)] × 100 % कम है। उदाहरण: A, B से 25% अधिक → B, A से 25/125 × 100 = 20% कम।
  • मूल्य x% बढ़ने पर खर्च न बढ़े, इसके लिए उपभोग में कमी = [x/(100 + x)] × 100 %।
  • जनसंख्या वृद्धि — P वर्तमान, r% वार्षिक वृद्धि → n वर्ष बाद = P(1 + r/100)ⁿ; n वर्ष पहले = P/(1 + r/100)ⁿ।
  • परीक्षा में न्यूनतम उत्तीर्णांक — कोई छात्र x% अंक लाकर y अंकों से फ़ेल हुआ और दूसरा z% लाकर w अंक अधिक लाया → कुल अंक = (y + w)/(z − x) × 100।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) चीनी का मूल्य 20% बढ़ गया। खर्च समान रखने के लिए खपत कितने % घटाएँ? → 20/120 × 100 = 16⅔%।
(2) किसी नगर की जनसंख्या 50,000 है, जो 10% वार्षिक बढ़ती है। 2 वर्ष बाद? → 50000 × 1.1 × 1.1 = 60,500।
(3) एक छात्र को 30% अंक मिले और वह 15 अंकों से फ़ेल हुआ; दूसरे को 40% मिले और वह उत्तीर्णांक से 35 अंक अधिक लाया। पूर्णांक? → (15 + 35)/(40 − 30) × 100 = 500; उत्तीर्णांक = 150 + 15 = 165।

9. लाभ-हानि एवं बट्टा

  • क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP)। लाभ = SP − CP; हानि = CP − SP। लाभ/हानि प्रतिशत सदा क्रय मूल्य पर निकाला जाता है।
  • SP = CP × (100 + लाभ%)/100; SP = CP × (100 − हानि%)/100।
  • बट्टा (Discount) सदा अंकित मूल्य पर: SP = MP × (100 − बट्टा%)/100। क्रमिक बट्टे x% और y% → एकल समतुल्य बट्टा = x + y − xy/100।
  • MP/CP का अनुपात = (100 + लाभ%)/(100 − बट्टा%)।
  • दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर, एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि → सदा हानि = x²/100 %।
  • बेईमान दुकानदार — क्रय मूल्य पर बेचे पर 1 किग्रा की जगह 900 ग्राम दे → लाभ% = (गलती ÷ सही दिया गया भार) × 100 = 100/900 × 100 = 11.11%।
  • x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SP → लाभ% = (x − y)/y × 100।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) ₹800 की वस्तु 15% लाभ पर बेची। SP? → 800 × 115/100 = ₹920।
(2) अंकित मूल्य ₹2000 पर 20% और 10% के क्रमिक बट्टे। SP? → 20 + 10 − 2 = 28% → 2000 × 72/100 = ₹1440।
(3) एक दुकानदार अंकित मूल्य पर 10% बट्टा देकर भी 17% लाभ कमाता है। वस्तु का CP ₹500 हो तो MP? → MP/CP = 117/90 → MP = 500 × 117/90 = ₹650।
(4) 20 कलमों का CP = 16 कलमों का SP → लाभ = (20 − 16)/16 × 100 = 25%।

10. साधारण ब्याज एवं चक्रवृद्धि ब्याज

  • साधारण ब्याज (SI) = P × R × T/100; मिश्रधन A = P + SI। कोई राशि SI पर T वर्ष में n गुनी → R = (n − 1) × 100/T।
  • चक्रवृद्धि ब्याज (CI) — A = P(1 + R/100)ᵀ; CI = A − P। अर्धवार्षिक: दर R/2, समय 2T; त्रैमासिक: दर R/4, समय 4T।
  • 2 वर्ष के लिए CI − SI = P(R/100)²; 3 वर्ष के लिए = P(R/100)²(3 + R/100)।
  • 2 वर्ष के लिए प्रभावी CI दर = 2R + R²/100 %। उदाहरण: 10% पर 2 वर्ष → 21%।
  • कोई राशि CI पर T वर्ष में दोगुनी → 2T वर्ष में 4 गुनी, 3T में 8 गुनी।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) ₹4000 पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का SI? → 4000 × 8 × 3/100 = ₹960।
(2) ₹10,000 पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि दर से 2 वर्ष का CI? → A = 10000 × 1.1 × 1.1 = 12100 → CI = ₹2100।
(3) किसी राशि पर 5% की दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ₹25 है। राशि? → P × (5/100)² = 25 → P × 1/400 = 25 → P = ₹10,000।
(4) कोई राशि SI पर 8 वर्ष में दोगुनी होती है। दर? → (2 − 1) × 100/8 = 12.5%।

वर्ष 1वर्ष 2वर्ष 3 1100012000121001300013310 साधारण ब्याज चक्रवृद्धि ब्याज
₹10,000 पर 10% वार्षिक दर — पहले वर्ष दोनों बराबर, फिर चक्रवृद्धि में "ब्याज पर ब्याज" से अंतर बढ़ता जाता है।

11. औसत एवं मिश्रण

  • औसत = प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या।
  • प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2; क्रमागत संख्याओं का औसत = (पहली + अंतिम)/2।
  • किसी समूह में नया सदस्य आने से औसत बढ़े → नए सदस्य का मान = पुराना औसत + (कुल नई संख्या × औसत में वृद्धि)।
  • एलिगेशन (Alligation) — दो मूल्यों के मिश्रण का अनुपात = (महँगा − औसत) : (औसत − सस्ता) [सस्ता : महँगा]।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) 5 संख्याओं का औसत 24 है। एक संख्या हटाने पर औसत 22 हो जाता है। हटाई गई संख्या? → 5 × 24 − 4 × 22 = 120 − 88 = 32।
(2) 30 छात्रों की औसत आयु 14 वर्ष है। शिक्षक की आयु जोड़ने पर औसत 1 वर्ष बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु? → 14 + 31 × 1 = 45 वर्ष (जाँच: 31 × 15 − 30 × 14 = 465 − 420 = 45 ✓)।
(3) ₹40/किग्रा और ₹60/किग्रा की चाय किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹52/किग्रा का हो? → (60 − 52) : (52 − 40) = 8 : 12 = 2 : 3।

12. समय एवं कार्य; पाइप-टंकी

  • यदि A किसी काम को n दिन में करे → एक दिन का काम = 1/n।
  • A को a दिन और B को b दिन लगें → साथ में = ab/(a + b) दिन।
  • LCM विधि — कुल काम = दिनों का LCM मानें; हर व्यक्ति की प्रतिदिन क्षमता निकालें (भिन्न से बचाव)।
  • M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂ (आदमी × दिन × घंटे ÷ काम)।
  • पाइप-टंकी — भरने वाला पाइप धनात्मक, खाली करने वाला ऋणात्मक कार्य।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) A एक काम 12 दिन में और B 18 दिन में करता है। साथ में? → 12 × 18/30 = 7.2 दिन।
(2) 15 आदमी एक काम 20 दिन में करते हैं। 25 आदमी कितने दिन में करेंगे? → 15 × 20 = 25 × D → D = 12 दिन।
(3) पाइप A टंकी 10 घंटे में भरता है, पाइप B 15 घंटे में खाली करता है। दोनों साथ खोलने पर? → LCM 30: A = +3, B = −2 → शुद्ध +1 प्रति घंटा → 30 घंटे।

13. समय, चाल एवं दूरी

  • दूरी = चाल × समय। किमी/घंटा → मी/से: × 5/18; मी/से → किमी/घंटा: × 18/5।
  • औसत चाल — समान दूरी दो चालों x और y से → 2xy/(x + y) (साधारण औसत नहीं!)।
  • सापेक्ष चाल — एक ही दिशा में: चालों का अंतर; विपरीत दिशा में: चालों का योग।
  • रेलगाड़ी — खंभा/व्यक्ति पार करने में दूरी = रेल की लंबाई; प्लेटफ़ॉर्म/पुल पार करने में = रेल + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई; दो रेलें एक-दूसरे को पार करें → दूरी = दोनों लंबाइयों का योग।
  • नाव-धारा — अनुप्रवाह (धारा के साथ) = u + v; उर्ध्वप्रवाह (धारा के विरुद्ध) = u − v; शांत जल में नाव की चाल = (अनु + उर्ध्व)/2; धारा की चाल = (अनु − उर्ध्व)/2।
🎯 हल किए गए उदाहरण

(1) एक व्यक्ति A से B तक 40 किमी/घंटा और लौटते समय 60 किमी/घंटा से जाता है। औसत चाल? → 2 × 40 × 60/100 = 48 किमी/घंटा (50 नहीं)।
(2) 150 मी लंबी रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा की चाल से 250 मी लंबा प्लेटफ़ॉर्म कितने समय में पार करेगी? → चाल = 54 × 5/18 = 15 मी/से; दूरी = 400 मी; समय = 400/15 = 26⅔ सेकंड।
(3) एक पुलिस जीप 72 किमी/घंटा से एक चोर का पीछा कर रही है जो 54 किमी/घंटा से भाग रहा है और 500 मी आगे है। जीप कितने समय में पकड़ेगी? → सापेक्ष चाल = 18 किमी/घंटा = 5 मी/से → 500/5 = 100 सेकंड।
(4) नाव अनुप्रवाह में 12 किमी/घंटा और उर्ध्वप्रवाह में 8 किमी/घंटा चलती है। धारा की चाल? → (12 − 8)/2 = 2 किमी/घंटा।

14. मास्टर सूत्र सारणी (Master Formula Table)

विषयसूत्रयाद रखने का संकेत
योगΣn = n(n + 1)/2; Σn² = n(n + 1)(2n + 1)/6; Σn³ = [n(n + 1)/2]²प्रथम n विषम का योग = n²
HCF-LCMa × b = HCF × LCMकेवल दो संख्याओं के लिए
घातांकaᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ—
सर्वसमिकाएँ(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b)a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc
द्विघातx = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a; योग −b/a; गुणनफल c/aD = b² − 4ac
समानुपातad = bc; मध्यानुपाती √(ab); तृतीयानुपाती b²/a—
प्रतिशत परिवर्तनक्रमिक: x + y + xy/100+x फिर −x ⇒ x²/100 % हानि
खपत समायोजन[x/(100 ± x)] × 100मूल्य बढ़े → खपत घटाएँ
लाभ-हानिSP = CP(100 ± P%)/100; लाभ% CP पर—
बट्टाSP = MP(100 − D%)/100; क्रमिक x + y − xy/100बट्टा MP पर
MP/CP(100 + P%)/(100 − D%)—
साधारण ब्याजSI = PRT/100n गुना: R = (n − 1)100/T
चक्रवृद्धि ब्याजA = P(1 + R/100)ᵀCI − SI (2 वर्ष) = P(R/100)²
जनसंख्याPₙ = P(1 + r/100)ⁿह्रास में (1 − r/100)
औसतयोग ÷ संख्याएलिगेशन: (महँगा − औसत) : (औसत − सस्ता)
समय-कार्यसाथ में ab/(a + b); M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂LCM विधि
चालD = S × T; औसत चाल 2xy/(x + y)5/18 और 18/5
नाव-धारानाव = (a + b)/2; धारा = (a − b)/2a अनु, b उर्ध्व

15. मास्टर सारणी — प्रश्न प्रकार एवं विधि

प्रश्न का प्रकारसबसे तेज़ विधि
"एक साथ बजेंगी / मिलेंगे"LCM
"सबसे बड़ी संख्या जो पूरा भाग दे"HCF
इकाई अंकघात चक्र (4 का)
भिन्नों की तुलनावज्र गुणन
अनुपात में बाँटनाकुल × भाग/योग
क्रमिक प्रतिशत / बट्टाx + y ± xy/100
मिश्रणएलिगेशन
CI 2–3 वर्ष(1 + R/100)ᵀ सीधा गुणा
समय-कार्यLCM = कुल काम
पीछा करना / पार करनासापेक्ष चाल

16. माइंड मैप

अंकगणित एवं बीजगणित
संख्याएँ
  • प्रकार, विभाज्यता
  • LCM-HCF
  • घातांक, मूल
  • सरलीकरण
बीजगणित
  • सर्वसमिकाएँ
  • रैखिक समीकरण
  • द्विघात
  • आयु प्रश्न
वाणिज्यिक
  • अनुपात, साझेदारी
  • प्रतिशत
  • लाभ-हानि, बट्टा
  • SI, CI
अनुप्रयोग
  • औसत, मिश्रण
  • समय-कार्य
  • चाल-दूरी
  • नाव-धारा

17. टिप्स एवं ट्रिक्स

गति बढ़ाने के तरीके
  • 5 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग: 65² → 6 × 7 = 42, साथ में 25 → 4225।
  • 11 से गुणा: 52 × 11 → 5 _(5 + 2)_ 2 = 572; 78 × 11 → 7 _(15)_ 8 → 858।
  • प्रतिशत को भिन्न में बदलकर गणना करें: 37.5% = 3/8, 62.5% = 5/8, 87.5% = 7/8।
  • CI में दर 10% हो तो हर वर्ष 1.1 से गुणा करें: 1.1, 1.21, 1.331।
  • उत्तर जाँचें: औसत चाल हमेशा दोनों चालों के बीच और साधारण औसत से कम होती है।
आम गलतियाँ
  • लाभ% CP पर, बट्टा% MP पर — आपस में न बदलें।
  • 20% बढ़ाकर 20% घटाने पर मूल राशि नहीं, 4% कम मिलती है।
  • रेलगाड़ी द्वारा प्लेटफ़ॉर्म पार करने में दोनों लंबाइयाँ जोड़ें।
  • BODMAS में "का" भाग से पहले हल करें।

18. महत्वपूर्ण वन-लाइनर

  • 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
  • 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं।
  • दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।
  • किसी भी शून्येतर संख्या की घात शून्य हो तो मान 1 होता है।
  • पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 नहीं होता।
  • प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
  • a + b + c = 0 हो तो a³ + b³ + c³ = 3abc।
  • द्विघात समीकरण के मूलों का योग −b/a होता है।
  • लाभ-हानि प्रतिशत सदा क्रय मूल्य पर निकाला जाता है।
  • बट्टा सदा अंकित मूल्य पर दिया जाता है।
  • 10% और 20% के क्रमिक बट्टे = 28% एकल बट्टा।
  • दो वर्ष के CI और SI का अंतर P(R/100)² होता है।
  • समान दूरी पर औसत चाल 2xy/(x + y) होती है।
  • विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = चालों का योग।
  • 1 किमी/घंटा = 5/18 मी/से।
  • धारा की चाल = (अनुप्रवाह − उर्ध्वप्रवाह)/2।

19. PYQ आधारित प्रश्न — विस्तृत उत्तर सहित

Q1PYQ आधारित

दो संख्याओं का LCM 120 और HCF 8 है। यदि एक संख्या 24 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

  1. 32
  2. 40
  3. 48
  4. 60
उत्तर एवं व्याख्या

पहली × दूसरी = HCF × LCM → 24 × x = 8 × 120 = 960 → x = 40। जाँच: HCF(24, 40) = 8 ✓, LCM = 120 ✓। 32, 48, 60 में से कोई भी 24 के साथ यही HCF-LCM नहीं देता।

उत्तर: (B) 40

Q2PYQ आधारित

3¹⁰² का इकाई अंक क्या है?

  1. 1
  2. 3
  3. 7
  4. 9
उत्तर एवं व्याख्या

3 की घातों का इकाई चक्र: 3, 9, 7, 1 (हर 4 पर दोहराव)। 102 ÷ 4 = 25 शेष 2 → चक्र का दूसरा अंक = 9। शेष 1 होता तो 3, शेष 3 होता तो 7 और शेष 0 होता तो 1 आता।

उत्तर: (D) 9

Q3PYQ आधारित

किसी वस्तु का मूल्य पहले 20% बढ़ाया गया और फिर 20% घटाया गया। मूल मूल्य की तुलना में कुल परिवर्तन है —

  1. कोई परिवर्तन नहीं
  2. 4% वृद्धि
  3. 4% कमी
  4. 2% कमी
उत्तर एवं व्याख्या

क्रमिक परिवर्तन = x + y + xy/100 = 20 − 20 − 400/100 = −4%। उदाहरण से: ₹100 → ₹120 → ₹120 का 80% = ₹96, यानी 4% कमी। "कोई परिवर्तन नहीं" सबसे आम गलती है, क्योंकि दूसरा प्रतिशत बढ़ी हुई राशि पर लगता है।

उत्तर: (C) 4% कमी

Q4PYQ आधारित

एक दुकानदार ₹1200 अंकित मूल्य की घड़ी पर 15% बट्टा देता है। घड़ी का विक्रय मूल्य क्या है?

  1. ₹1000
  2. ₹1020
  3. ₹1050
  4. ₹1080
उत्तर एवं व्याख्या

बट्टा = 1200 का 15% = ₹180; SP = 1200 − 180 = ₹1020 (या 1200 × 85/100 = 1020)। ₹1080 10% बट्टे पर और ₹1050 12.5% बट्टे पर मिलता।

उत्तर: (B) ₹1020

Q5PYQ आधारित

₹5000 पर 12% वार्षिक दर से 2 वर्ष 6 महीने का साधारण ब्याज कितना होगा?

  1. ₹1200
  2. ₹1500
  3. ₹1600
  4. ₹1800
उत्तर एवं व्याख्या

T = 2.5 वर्ष। SI = 5000 × 12 × 2.5/100 = 50 × 30 = ₹1500। ₹1200 केवल 2 वर्ष का ब्याज है (6 महीने छूट गए), और ₹1800 3 वर्ष का।

उत्तर: (B) ₹1500

Q6PYQ आधारित

₹8000 पर 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

  1. ₹800
  2. ₹810
  3. ₹820
  4. ₹840
उत्तर एवं व्याख्या

A = 8000 × (1.05)² = 8000 × 1.1025 = ₹8820; CI = 8820 − 8000 = ₹820। शॉर्टकट: 2 वर्ष की प्रभावी दर = 2 × 5 + 25/100 = 10.25%; 8000 का 10.25% = 820। ₹800 साधारण ब्याज होता।

उत्तर: (C) ₹820

Q7PYQ आधारित

A किसी काम को 10 दिन में और B उसी काम को 15 दिन में कर सकता है। दोनों मिलकर काम कितने दिनों में पूरा करेंगे?

  1. 5 दिन
  2. 6 दिन
  3. 8 दिन
  4. 12.5 दिन
उत्तर एवं व्याख्या

साथ में समय = ab/(a + b) = 10 × 15/25 = 6 दिन। LCM विधि: कुल काम 30 इकाई; A = 3/दिन, B = 2/दिन; मिलकर 5/दिन → 30/5 = 6 दिन। 12.5 दिन दोनों के दिनों का औसत है, जो गलत तरीका है।

उत्तर: (B) 6 दिन

Q8PYQ आधारित

200 मी लंबी एक रेलगाड़ी 72 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। वह एक बिजली के खंभे को कितने समय में पार करेगी?

  1. 8 सेकंड
  2. 10 सेकंड
  3. 12 सेकंड
  4. 20 सेकंड
उत्तर एवं व्याख्या

खंभा पार करने में तय दूरी = रेल की लंबाई = 200 मी। चाल = 72 × 5/18 = 20 मी/से। समय = 200/20 = 10 सेकंड। यदि इकाई बदले बिना 200/72 लें तो गलत उत्तर मिलता है।

उत्तर: (B) 10 सेकंड

Q9PYQ आधारित

6 संख्याओं का औसत 15 है। यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

  1. 15
  2. 18
  3. 21
  4. 33
उत्तर एवं व्याख्या

हर संख्या में समान मान (3) जोड़ने पर औसत भी उतना ही बढ़ता है → 15 + 3 = 18। जाँच: योग 90 + 18 = 108; 108/6 = 18। 21 तब आता जब योग में केवल 36 जोड़ते, और 33 तब जब 18 को औसत में जोड़ते।

उत्तर: (B) 18

Q10PYQ आधारित

यदि a : b = 3 : 4 और b : c = 6 : 7, तो a : b : c क्या है?

  1. 3 : 4 : 7
  2. 9 : 12 : 14
  3. 18 : 24 : 21
  4. 9 : 12 : 16
उत्तर एवं व्याख्या

b को दोनों अनुपातों में बराबर करें: b = LCM(4, 6) = 12। a : b = 9 : 12 और b : c = 12 : 14 → a : b : c = 9 : 12 : 14। 3 : 4 : 7 में अनुपातों को बिना b बराबर किए जोड़ दिया गया है; बाकी विकल्पों में c का मान गलत है।

उत्तर: (B) 9 : 12 : 14

Q11कठिन

एक दुकानदार अपनी वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 40% अधिक अंकित करता है और फिर 20% बट्टा देता है। उसका लाभ प्रतिशत क्या है?

  1. 10%
  2. 12%
  3. 20%
  4. 16%
उत्तर एवं व्याख्या

CP = ₹100 मानें → MP = ₹140 → 20% बट्टे के बाद SP = 140 × 80/100 = ₹112 → लाभ 12%। सूत्र: x − y − xy/100 = 40 − 20 − 800/100 = 12%। 20% तब आता जब बट्टे को सीधे घटाते (40 − 20), जो गलत है क्योंकि बट्टा बढ़ी हुई राशि पर लगता है।

उत्तर: (B) 12%

Q12कठिन

एक पुलिस अधिकारी 10 किमी/घंटा की चाल से एक चोर का पीछा करता है, जो उससे 100 मी आगे है और 8 किमी/घंटा से भाग रहा है। अधिकारी द्वारा चोर को पकड़ने से पहले चोर कितनी दूरी तय कर चुका होगा?

  1. 300 मी
  2. 400 मी
  3. 500 मी
  4. 600 मी
उत्तर एवं व्याख्या

सापेक्ष चाल = 10 − 8 = 2 किमी/घंटा = 2000 मी/घंटा। 100 मी का अंतर पाटने में समय = 100/2000 = 1/20 घंटा। इस समय में चोर की दूरी = 8 किमी/घंटा × 1/20 घंटा = 0.4 किमी = 400 मी (अधिकारी ने 500 मी तय किए)। 500 मी अधिकारी की दूरी है, चोर की नहीं।

उत्तर: (B) 400 मी

20. त्वरित पुनरावृत्ति

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें
  • संख्याएँ: विभाज्यता नियम; इकाई अंक का 4 वाला चक्र; Σn = n(n + 1)/2।
  • LCM-HCF: a × b = HCF × LCM; "एक साथ" → LCM; "सबसे बड़ी" → HCF।
  • बीजगणित: सर्वसमिकाएँ; द्विघात मूल योग −b/a, गुणनफल c/a।
  • प्रतिशत: x + y + xy/100; +x फिर −x = x²/100 % हानि; खपत समायोजन x/(100 + x)।
  • लाभ-हानि: लाभ% CP पर, बट्टा MP पर; MP/CP = (100 + P)/(100 − D)।
  • ब्याज: SI = PRT/100; A = P(1 + R/100)ᵀ; CI − SI = P(R/100)²।
  • कार्य-चाल: ab/(a + b); औसत चाल 2xy/(x + y); सापेक्ष चाल; रेल + प्लेटफ़ॉर्म; नाव-धारा।
मुख्य परीक्षा — पेपर 2 (सामान्य अध्ययन) — सभी अध्यायPolice Mock Tests