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➕ गणित (Mathematics) — RRB Group D

हर अध्याय का सूत्र, shortcut trick और हल किया गया उदाहरण — सरल हिंदी में

📚 5,000+ शब्द 🎯 परीक्षा में 25 प्रश्न 📐 सूत्र तालिकाएँ ⚡ Shortcut Tricks ✅ Master Summary
🎯 गणित की रणनीति

RRB Group D में गणित के 25 प्रश्न आते हैं और अधिकतर प्रश्न कक्षा 10 तक के अंकगणित पर आधारित होते हैं। इस खंड में गति (Speed) सबसे ज़रूरी है — सूत्र याद हों, पहाड़े, वर्ग और घन मुँह-ज़बानी हों, तो हर प्रश्न 40–60 सेकंड में हो सकता है।

📊 Chart: पिछले पेपरों के आधार पर अनुमानित प्रश्न (25 में से)

सरलीकरण, संख्या पद्धति3–4
प्रतिशत, लाभ-हानि, छूट3–4
SI और CI1–2
अनुपात, औसत, आयु2–3
समय-कार्य, नल-टंकी1–2
समय-चाल-दूरी, ट्रेन, नाव2–3
क्षेत्रमिति (2D + 3D)2–3
ज्यामिति, त्रिकोणमिति2–3
बीजगणित, सांख्यिकी1–2

नोट: यह अनुमानित विभाजन है; हर पाली में थोड़ा बदलाव होता है।

विषय-सूची

1. संख्या पद्धति व विभाज्यता 2. LCM और HCF 3. सरलीकरण व BODMAS 4. वर्ग, घन, वर्गमूल 5. प्रतिशत 6. लाभ-हानि व छूट 7. साधारण व चक्रवृद्धि ब्याज 8. अनुपात-समानुपात, साझेदारी, मिश्रण 9. औसत व आयु 10. समय-कार्य व नल-टंकी 11. समय-चाल-दूरी, ट्रेन, नाव 12. क्षेत्रमिति (2D और 3D) 13. ज्यामिति 14. त्रिकोणमिति 15. बीजगणित 16. सांख्यिकी 10 हल किए गए प्रश्न 20 गणित One-liners 17. Master Summary Table
1. संख्या पद्धति (Number System) और विभाज्यता

संख्या पद्धति गणित की नींव है। RRB Group D में इससे सीधे प्रश्न (इकाई अंक, विभाज्यता, शेषफल, अभाज्य संख्याएँ) और दूसरे अध्यायों में छिपे प्रश्न — दोनों आते हैं।

संख्याओं के प्रकार

प्राकृत (N): 1,2,3…⊂पूर्ण (W): 0,1,2…⊂पूर्णांक (Z): …−2,−1,0,1…⊂परिमेय (Q): p/q⊂वास्तविक (R)
प्रकारपरिभाषाउदाहरणयाद रखें
प्राकृत संख्या (Natural)गिनती की संख्याएँ1, 2, 3, …सबसे छोटी प्राकृत संख्या = 1
पूर्ण संख्या (Whole)0 सहित प्राकृत संख्याएँ0, 1, 2, …सबसे छोटी पूर्ण संख्या = 0
पूर्णांक (Integer)धनात्मक, ऋणात्मक और 0−3, 0, 50 न धनात्मक, न ऋणात्मक
परिमेय (Rational)p/q रूप, q ≠ 03/4, 0.25, 0.333…सांत या आवर्ती दशमलव
अपरिमेय (Irrational)p/q रूप में नहीं लिख सकते√2, √3, πअसांत और अनावर्ती दशमलव
अभाज्य (Prime)केवल 1 और स्वयं से विभाज्य2, 3, 5, 7, 112 एकमात्र सम अभाज्य
भाज्य (Composite)2 से अधिक गुणनखंड4, 6, 8, 91 न अभाज्य न भाज्य
सह-अभाज्य (Co-prime)जिनका HCF = 1(8, 15), (4, 9)दोनों का अभाज्य होना ज़रूरी नहीं
🔑 अभाज्य संख्याएँ — ज़रूर याद करें 1 से 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।
1–50 में 15 और 51–100 में 10 अभाज्य संख्याएँ हैं।

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

संख्यानियमउदाहरण
2इकाई अंक सम (0, 2, 4, 6, 8)3,548 ✔
3अंकों का योग 3 से विभाज्य7,215 → 15 ✔
4अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य9,316 → 16 ✔
5इकाई अंक 0 या 54,785 ✔
62 और 3 दोनों से विभाज्य1,254 ✔
8अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य57,104 → 104 ✔
9अंकों का योग 9 से विभाज्य8,433 → 18 ✔
11(विषम स्थानों का योग − सम स्थानों का योग) = 0 या 11 का गुणज2,728 → (2+2)−(7+8) = −11 ✔
123 और 4 दोनों से2,316 ✔
7, 11, 13ABCABC प्रकार की संख्या हमेशा 7, 11, 13 (=1001) से विभाज्य526526 ✔
⚡ Trick: लुप्त अंक (Missing digit) प्रश्न: 5 7 _ 2 संख्या 9 से विभाज्य है, _ का न्यूनतम मान?
अंकों का योग = 5+7+2 = 14 + x → अगला 9 का गुणज 18 → x = 4।

इकाई अंक (Unit Digit) — Cyclicity

किसी संख्या की घात का इकाई अंक एक चक्र (cycle) में दोहराता है। घात को 4 से भाग देकर शेषफल देखें (शेष 0 हो तो 4वाँ पद लें)।

इकाई अंकचक्रचक्र की लंबाई
0, 1, 5, 6हमेशा वही अंक1
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
44, 6 (विषम घात → 4, सम घात → 6)2
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64
99, 1 (विषम → 9, सम → 1)2
✅ हल किया गया उदाहरण (137)59 का इकाई अंक? → केवल 7 देखें। 59 ÷ 4 = शेष 3 → 7 का तीसरा पद = 3।

उपयोगी सूत्र

पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2 पहली n विषम संख्याओं का योग = n² पहली n सम संख्याओं का योग = n(n+1) पहली n संख्याओं के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6 पहली n संख्याओं के घनों का योग = [n(n+1)/2]² भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
⚡ गुणनखंडों की संख्या (Number of factors) N = ap × bq × cr हो तो गुणनखंडों की संख्या = (p+1)(q+1)(r+1)।
उदाहरण: 72 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12 गुणनखंड।
⚠ आम गलतियाँ
  • 1 को अभाज्य मान लेना — 1 न अभाज्य है न भाज्य।
  • 0.333… को अपरिमेय मानना — आवर्ती दशमलव परिमेय होता है (= 1/3)।
  • π = 22/7 मान लेना — 22/7 सिर्फ़ निकटतम मान है, π अपरिमेय है।
2. LCM और HCF (लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक)
HCF (महत्तम समापवर्तक)वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करे। शब्द-संकेत: "सबसे बड़ा", "अधिकतम लंबाई", "बराबर भागों में बाँटना"।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)वह सबसे छोटी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य हो। शब्द-संकेत: "एक साथ", "फिर कब मिलेंगे", "घंटियाँ साथ बजेंगी"।
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF HCF हमेशा LCM का गुणनखंड होता है।

अभाज्य गुणनखंड विधि

उदाहरण: 36 और 48
36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3
HCF = सबसे छोटी घातें = 2² × 3 = 12
LCM = सबसे बड़ी घातें = 2⁴ × 3² = 144
जाँच: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✔

शेषफल वाले प्रश्न (सबसे महत्वपूर्ण)

प्रश्न का प्रकारसूत्रउदाहरण
सबसे छोटी संख्या जिसे a, b, c से भाग देने पर हर बार शेष r बचेLCM(a,b,c) + r4, 6, 8 से शेष 3 → 24 + 3 = 27
सबसे बड़ी संख्या जिससे x, y, z को भाग देने पर समान शेष बचेHCF(y−x, z−y, z−x)23, 51, 72 → HCF(28, 21, 49) = 7
सबसे बड़ी संख्या जो x, y को भाग दे तो शेष क्रमशः r1, r2 बचेंHCF(x−r1, y−r2)62, 132 में शेष 2, 4 → HCF(60,128) = 4
शेष अलग-अलग पर (भाजक − शेष) समान होLCM − (भाजक − शेष)5,6,7 से शेष 3,4,5 → 210 − 2 = 208
✅ हल किया गया उदाहरण (घंटियाँ) तीन घंटियाँ 12, 15 और 20 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। सुबह 8 बजे एक साथ बजीं, फिर कब साथ बजेंगी?
LCM(12, 15, 20) = 60 मिनट → अगली बार सुबह 9 बजे।
⚡ Trick यदि दो संख्याओं का HCF = H है तो संख्याएँ Hx और Hy होंगी, जहाँ x और y सह-अभाज्य हैं। उदाहरण: HCF 12 और योग 96 → 12(x+y) = 96 → x+y = 8 → सह-अभाज्य युग्म (1,7), (3,5) → संख्याओं के 2 युग्म संभव।
3. सरलीकरण (Simplification) और BODMAS

सरलीकरण के प्रश्न सबसे जल्दी हल होने वाले प्रश्न हैं। इन्हें 20–30 सेकंड में हल करने का अभ्यास करें। नियम है BODMAS — इसी क्रम में गणना करें।

B — Bracket
( ) { } [ ]→O — Of
(का)→D — Division ÷→M — Multiply ×→A — Add +→S — Subtract −
⚠ ध्यान दें
  • कोष्ठक का क्रम: पहले रेखा-कोष्ठक (vinculum —), फिर ( ), फिर { }, फिर [ ]।
  • "of" (का) का मान भाग से पहले निकालें: 48 ÷ 4 of 3 = 48 ÷ 12 = 4 (न कि 36)।
  • भाग और गुणा बाएँ से दाएँ: 24 ÷ 4 × 2 = 6 × 2 = 12 (न कि 3)।
✅ हल किया गया उदाहरण 18 − [5 − {6 + 2(7 − 8 − 5)}]
= 18 − [5 − {6 + 2(−6)}] = 18 − [5 − {6 − 12}] = 18 − [5 − (−6)] = 18 − 11 = 7

अनुमान (Approximation) की Trick

जब प्रश्न में "लगभग (approximately)" या "?" के साथ दशमलव संख्याएँ हों तो उन्हें निकटतम पूर्ण संख्या बना लें। जैसे 49.97 × 20.02 ÷ 9.98 ≈ 50 × 20 ÷ 10 = 100। विकल्प दूर-दूर हों तो यह तरीका बहुत समय बचाता है।

भिन्न, दशमलव और प्रतिशत — रूपांतरण तालिका

भिन्नदशमलवप्रतिशतभिन्नदशमलवप्रतिशत
1/20.550%1/90.111…11.11%
1/30.333…33.33%1/100.110%
1/40.2525%1/110.0909…9.09%
1/50.220%1/120.0833…8.33%
1/60.1666…16.66%1/150.0666…6.66%
1/70.142857…14.28%1/160.06256.25%
1/80.12512.5%1/200.055%
🧠 याद रखने की Trick 1/8 = 12.5% है, तो 3/8 = 37.5%, 5/8 = 62.5%, 7/8 = 87.5% — बस 12.5 से गुणा करें। इसी तरह 1/6 = 16.66% से 5/6 = 83.33%।

आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना

0.ā = a/9 → 0.777… = 7/9 0.āb̄ = ab/99 → 0.4545… = 45/99 = 5/11 0.aƀ = (ab − a)/90 → 0.3666… = (36 − 3)/90 = 33/90 = 11/30
4. वर्ग, घन, वर्गमूल और घनमूल

1 से 30 तक के वर्ग और 1 से 20 तक के घन रटे होने चाहिए — इससे सरलीकरण, क्षेत्रमिति और बीजगणित तीनों तेज़ होते हैं।

nn²nn²nn²nn³
11121183242562528
121441936126676327
131692040027729464
1419621441287845125
1522522484298416216
1625623529309007343
17289245763512258, 9, 10, 11, 12512, 729, 1000, 1331, 1728
⚡ 5 पर ख़त्म होने वाली संख्या का वर्ग (a5)² = a × (a+1) फिर 25 लगा दें। 65² → 6 × 7 = 42 → 4225। 85² → 8 × 9 = 72 → 7225।
⚡ 50 के पास की संख्या का वर्ग (50 + x)² = (25 + x) सैकड़ा + x²। 53² → (25+3) = 28 सैकड़ा + 9 = 2809। 47² → (25−3) = 22 सैकड़ा + 9 = 2209।

पूर्ण वर्ग की पहचान

  • पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी 2, 3, 7, 8 नहीं होता।
  • इकाई अंक 1 → वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9; 4 → 2 या 8; 9 → 3 या 7; 6 → 4 या 6; 5 → 5; 0 → 0।
  • अंत में विषम संख्या में शून्य हों तो पूर्ण वर्ग नहीं (जैसे 1000)।
✅ हल किया गया उदाहरण: √5329 अंतिम अंक 9 → वर्गमूल का इकाई 3 या 7। पहला समूह 53 → 7² = 49 < 53 < 64 → दहाई अंक 7। अब 75² = 5625 > 5329 → इसलिए 73। उत्तर 73।
✅ घनमूल की Trick: ∛175616 अंतिम तीन अंक 616 → इकाई 6 → घनमूल का इकाई 6 (6³ = 216)। शेष 175 → 5³ = 125 < 175 < 216 → 5। उत्तर 56।
घन के इकाई अंक: 2↔8, 3↔7 आपस में बदलते हैं; बाक़ी (0, 1, 4, 5, 6, 9) वही रहते हैं।
√2 = 1.414 √3 = 1.732 √5 = 2.236 √6 = 2.449 √7 = 2.646
5. प्रतिशत (Percentage)

प्रतिशत का अर्थ है "प्रति सौ"। यह अध्याय लाभ-हानि, ब्याज, जनसंख्या, चुनाव और मिश्रण — सबका आधार है। इसलिए इसे सबसे पहले पक्का करें।

x का y% = x × y / 100 x, y का कितना प्रतिशत है = (x / y) × 100 प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना) / पुराना × 100 दो क्रमागत परिवर्तन a% और b% → कुल = a + b + ab/100
स्थितिसूत्र / Trickउदाहरण
A, B से x% अधिक है → B, A से कितना कम?x / (100 + x) × 10025% अधिक → 25/125 = 20% कम
A, B से x% कम है → B, A से कितना अधिक?x / (100 − x) × 10020% कम → 20/80 = 25% अधिक
मूल्य x% बढ़े, खर्च वही रखना है → खपत में कमीx / (100 + x) × 100चीनी 25% महँगी → खपत 20% घटाएँ
पहले x% बढ़ा, फिर x% घटाहमेशा x²/100 % की कमी10% ↑ फिर 10% ↓ → 1% कमी
जनसंख्या r% वार्षिक वृद्धि, n वर्ष बादP(1 + r/100)ⁿ10,000 पर 10%, 2 वर्ष → 12,100
मूल्य-ह्रास (Depreciation)P(1 − r/100)ⁿमशीन ₹50,000, 10% वार्षिक, 2 वर्ष → ₹40,500
⚡ भिन्न-विधि (Fraction method) — सबसे तेज़ 20% = 1/5, 25% = 1/4, 12.5% = 1/8, 33.33% = 1/3, 16.66% = 1/6
"वेतन 25% बढ़ा" मतलब 4 → 5। "मूल्य 20% घटा" मतलब 5 → 4। अब सीधा अनुपात से हल करें।
✅ हल किया गया उदाहरण (परीक्षा) एक छात्र को पास होने के लिए 40% अंक चाहिए। उसे 180 अंक मिले और वह 20 अंकों से फेल हो गया। कुल अंक?
पास अंक = 180 + 20 = 200 = 40% → कुल = 200 × 100 / 40 = 500।
✅ हल किया गया उदाहरण (चुनाव) दो उम्मीदवारों के चुनाव में विजेता को 62% वोट मिले और वह 1,200 वोटों से जीता। कुल वैध वोट?
अंतर = 62% − 38% = 24% = 1,200 → 100% = 5,000।
⚠ ध्यान दें प्रतिशत हमेशा आधार (base) पर निकलता है। "A, B से 20% अधिक" में आधार B है, A नहीं। ज़्यादातर गलतियाँ आधार बदलने से होती हैं।
6. लाभ-हानि (Profit & Loss) और छूट (Discount)
मुख्य शब्द
  • क्रय मूल्य (CP) — ख़रीदने का दाम
  • विक्रय मूल्य (SP) — बेचने का दाम
  • अंकित मूल्य (MP) — वस्तु पर लिखा दाम
  • छूट — हमेशा MP पर
  • लाभ/हानि % — हमेशा CP पर
प्रवाह
CP→ लाभ% →SP← छूट% ←MP
MP ≥ SP और (लाभ होने पर) SP > CP
लाभ = SP − CP हानि = CP − SP लाभ% = लाभ / CP × 100 SP = CP × (100 + लाभ%) / 100 SP = CP × (100 − हानि%) / 100 SP = MP × (100 − छूट%) / 100 CP / MP = (100 − छूट%) / (100 + लाभ%)
विशेष स्थितिपरिणाम
दो वस्तुएँ समान SP पर, एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानिहमेशा हानि = x²/100 %
क्रमागत छूट a% और b%कुल छूट = a + b − ab/100
बेईमान दुकानदार (कम तौल), CP पर बेचेलाभ% = कमी / असली तौल × 100 (1 kg के स्थान पर 900 g → 100/900 = 11.11%)
x वस्तुओं का CP = y वस्तुओं का SPलाभ% = (x − y)/y × 100
"x ख़रीदने पर y मुफ़्त"छूट% = y/(x + y) × 100 (3 पर 1 मुफ़्त → 25%)
✅ हल किया गया उदाहरण एक दुकानदार वस्तु पर CP से 40% अधिक दाम अंकित करता है और 10% छूट देता है। लाभ%?
CP = 100 → MP = 140 → SP = 140 × 0.9 = 126 → लाभ = 26%।
Shortcut: +40 और −10 → 40 − 10 − (40 × 10)/100 = 26%।
✅ हल किया गया उदाहरण 15 पेन का CP = 12 पेन का SP। लाभ%? → (15 − 12)/12 × 100 = 25%।
🧠 याद रखें "लाभ-हानि CP पर, छूट MP पर" — इस एक पंक्ति से आधी गलतियाँ ख़त्म हो जाती हैं।
7. साधारण ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI)
साधारण ब्याज SI = P × R × T / 100 मिश्रधन A = P + SI चक्रवृद्धि मिश्रधन A = P(1 + R/100)ᵀ CI = A − P अर्धवार्षिक: दर R/2, समय 2T त्रैमासिक: दर R/4, समय 4T
बिंदुसाधारण ब्याजचक्रवृद्धि ब्याज
ब्याज की गणनाहर वर्ष मूलधन पर हीहर वर्ष पिछले मिश्रधन पर
हर वर्ष का ब्याजसमानबढ़ता जाता है
पहले वर्षदोनों बराबर (वार्षिक चक्रवृद्धि पर)
राशि दोगुनी होने का समयT = 100 / Rलगभग 72 / R (Rule of 72)
🔑 CI और SI का अंतर (बहुत पूछा जाता है) 2 वर्ष के लिए: CI − SI = P(R/100)²
3 वर्ष के लिए: CI − SI = P(R/100)² × (3 + R/100)
उदाहरण: ₹10,000 पर 10% दर, 2 वर्ष → 10,000 × (1/10)² = ₹100।

प्रभावी दर तालिका (CI, 2 वर्ष)

दर2 वर्ष का प्रभावी %3 वर्ष का प्रभावी %
5%10.25%15.7625%
10%21%33.1%
20%44%72.8%
✅ हल किया गया उदाहरण कोई राशि SI पर 8 वर्ष में दोगुनी हो जाती है। दर?
ब्याज = P, तो P = P × R × 8/100 → R = 12.5%।
यही राशि कितने वर्ष में तिगुनी होगी? ब्याज = 2P → T = 2 × 8 = 16 वर्ष।
⚡ Trick: CI में राशि n गुनी यदि CI पर कोई राशि T वर्ष में x गुनी हो जाए, तो x² गुनी 2T वर्ष में, x³ गुनी 3T वर्ष में होगी।
उदाहरण: 4 वर्ष में दोगुनी → 8 गुनी (2³) = 12 वर्ष में।
8. अनुपात-समानुपात, साझेदारी और मिश्रण
अनुपात a : b = a/b (b ≠ 0) समानुपात: a : b :: c : d → a × d = b × c (बाहरी गुणनफल = भीतरी गुणनफल) मध्यानुपाती (a, b) = √(ab) तृतीयानुपाती (a, b) = b²/a चतुर्थानुपाती (a, b, c) = bc/a
⚡ तीन अनुपात जोड़ना A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 → B को बराबर करें (LCM 12)
A : B = 8 : 12, B : C = 12 : 15 → A : B : C = 8 : 12 : 15
✅ हल किया गया उदाहरण ₹1,200 को A, B, C में 3 : 4 : 5 में बाँटें। C का हिस्सा? → 1,200 × 5/12 = ₹500।

साझेदारी (Partnership)

लाभ का बँटवारा पूँजी × समय के अनुपात में होता है।

✅ हल किया गया उदाहरण A ने ₹6,000 12 महीने और B ने ₹8,000 6 महीने लगाए। ₹5,000 लाभ में B का हिस्सा?
A : B = 6,000 × 12 : 8,000 × 6 = 72 : 48 = 3 : 2 → B = 5,000 × 2/5 = ₹2,000।

मिश्रण और एलिगेशन (Alligation)

सस्ता: ₹20 महँगा: ₹35 औसत: ₹25 35 − 25 = 10 25 − 20 = 5
एलिगेशन क्रॉस: सस्ता : महँगा = 10 : 5 = 2 : 1
🔑 एलिगेशन नियम सस्ती मात्रा : महँगी मात्रा = (महँगा − औसत) : (औसत − सस्ता)
यह नियम कीमत, प्रतिशत, औसत, गति — किसी भी "औसत" वाले मिश्रण पर लागू होता है।
✅ हल किया गया उदाहरण (दूध-पानी) 60 लीटर मिश्रण में दूध : पानी = 2 : 1। पानी कितना मिलाएँ कि अनुपात 1 : 2 हो जाए?
दूध = 40 L (स्थिर), पानी = 20 L। नया अनुपात 1 : 2 → पानी = 80 L → मिलाना = 60 लीटर।
9. औसत (Average) और आयु (Ages)
औसत = सभी राशियों का योग / राशियों की संख्या योग = औसत × संख्या पहली n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2 क्रमागत संख्याओं का औसत = (पहला + अंतिम)/2
⚡ नया सदस्य जुड़ने/हटने की Trick नए सदस्य का मान = पुराना औसत + (नई संख्या × औसत में बदलाव)
उदाहरण: 20 छात्रों का औसत भार 50 kg। शिक्षक को जोड़ने पर औसत 1 kg बढ़ गया। शिक्षक का भार = 50 + 21 × 1 = 71 kg।
✅ हल किया गया उदाहरण (क्रिकेट) एक बल्लेबाज़ का 10 पारियों का औसत 40 है। 11वीं पारी में कितने रन बनाए कि औसत 42 हो जाए?
= 42 × 11 − 40 × 10 = 462 − 400 = 62 रन। (Trick: 40 + 11 × 2 = 62)
⚠ औसत चाल (Average speed) समान दूरी दो गतियों x और y से तय हो तो औसत चाल = 2xy/(x + y), (x + y)/2 नहीं।
40 km/h जाना, 60 km/h आना → 2 × 40 × 60/100 = 48 km/h।

आयु (Ages)

आयु के प्रश्नों में याद रखें — समय बीतने पर दो व्यक्तियों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता, पर अनुपात बदल जाता है।

✅ हल किया गया उदाहरण पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 7 : 2 है। 10 वर्ष बाद अनुपात 9 : 4 होगा। पुत्र की वर्तमान आयु?
(7x + 10)/(2x + 10) = 9/4 → 28x + 40 = 18x + 90 → x = 5 → पुत्र = 10 वर्ष।
Trick: अनुपात का अंतर बराबर करें — 7:2 (अंतर 5), 9:4 (अंतर 5) → एक भाग = 10/(4 − 2) = 5। पुत्र = 2 × 5 = 10।
⚡ विकल्प से जाँच (Option checking) आयु के प्रश्नों में अक्सर विकल्प रखकर जाँचना सबसे तेज़ होता है। वर्तमान आयु का विकल्प लें, "x वर्ष पहले/बाद" की शर्त लगाकर देखें।
10. समय और कार्य (Time & Work) तथा नल-टंकी (Pipes & Cisterns)

मूल सिद्धांत: यदि कोई व्यक्ति काम n दिनों में पूरा करता है, तो उसका एक दिन का काम = 1/n। सबसे तेज़ तरीका है LCM विधि — कुल काम को LCM मान लें।

✅ LCM विधि का उदाहरण A किसी काम को 12 दिन में और B 18 दिन में करता है। दोनों मिलकर?
कुल काम = LCM(12, 18) = 36 इकाई। A की दक्षता = 3/दिन, B = 2/दिन → मिलकर 5/दिन → 36/5 = 7.2 दिन।
A और B मिलकर = (A × B)/(A + B) दिन A, B, C मिलकर = ABC/(AB + BC + CA) दिन M1 × D1 × H1 / W1 = M2 × D2 × H2 / W2 (M = व्यक्ति, D = दिन, H = घंटे, W = काम)
🔑 दक्षता (Efficiency) का नियम दक्षता और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं। यदि A, B से दोगुना कुशल है तो A आधे समय में काम करेगा।
उदाहरण: A, B से 50% अधिक कुशल है और B को 30 दिन लगते हैं → दक्षता 2 : 3 → A को 30 × 2/3 = 20 दिन।
✅ हल किया गया उदाहरण (M-D सूत्र) 12 व्यक्ति एक काम 20 दिन में करते हैं। 15 व्यक्ति वही काम कितने दिन में करेंगे?
12 × 20 = 15 × D → D = 16 दिन।

नल और टंकी

यह समय-कार्य जैसा ही है। भरने वाला नल = धनात्मक काम, ख़ाली करने वाला नल (रिसाव/leak) = ऋणात्मक काम।

स्थितिसूत्रउदाहरण
दो नल भरते हैं (x, y घंटे)xy/(x + y)10 और 15 घंटे → 6 घंटे
एक भरे (x), एक ख़ाली करे (y), y > xxy/(y − x)6 भरे, 12 ख़ाली → 12 घंटे
रिसाव के कारण भरने में t अधिक लगेरिसाव समय = x(x + t)/t4 घंटे का नल, 1 घंटा अधिक → 20 घंटे में रिसाव ख़ाली करेगा
⚠ सावधानी मिलकर काम करने पर दिन कभी नहीं जोड़ते — एक दिन का काम जोड़ते हैं। 10 दिन + 15 दिन = 25 दिन लिखना सबसे आम गलती है; सही उत्तर 6 दिन है।
11. समय, चाल और दूरी — ट्रेन और नाव
दूरी = चाल × समय km/h → m/s : × 5/18 m/s → km/h : × 18/5 औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय
km/h1836547290108
m/s51015202530
⚡ सापेक्ष चाल (Relative speed) एक ही दिशा में: चाल घटाएँ (S1 − S2)। विपरीत दिशा में: चाल जोड़ें (S1 + S2)।

ट्रेन के प्रश्न — मुख्य नियम

ट्रेन किसे पार कर रही हैतय दूरी
खंभा, व्यक्ति, पेड़ (नगण्य लंबाई)केवल ट्रेन की लंबाई
प्लेटफ़ॉर्म, पुल, सुरंगट्रेन की लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म/पुल की लंबाई
दूसरी ट्रेनदोनों ट्रेनों की लंबाइयों का योग (सापेक्ष चाल से)
ट्रेन (L₁) प्लेटफ़ॉर्म (L₂) कुल दूरी = L₁ + L₂
प्लेटफ़ॉर्म पार करने के लिए ट्रेन का इंजन प्लेटफ़ॉर्म के अंत से आगे ट्रेन की पूरी लंबाई तक जाता है।
✅ हल किया गया उदाहरण 150 m लंबी ट्रेन 54 km/h की चाल से 250 m लंबे प्लेटफ़ॉर्म को कितने समय में पार करेगी?
चाल = 54 × 5/18 = 15 m/s; दूरी = 150 + 250 = 400 m → समय = 400/15 = 26.67 सेकंड।
✅ हल किया गया उदाहरण (दो ट्रेनें) 120 m और 180 m लंबी दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में 40 km/h और 50 km/h से चल रही हैं। एक-दूसरे को पार करने का समय?
सापेक्ष चाल = 90 km/h = 25 m/s; दूरी = 300 m → 12 सेकंड।

नाव और धारा (Boats & Streams)

अनुप्रवाह (Downstream) चाल D = u + v ऊर्ध्वप्रवाह (Upstream) चाल U = u − v शांत जल में नाव की चाल u = (D + U)/2 धारा की चाल v = (D − U)/2
✅ हल किया गया उदाहरण एक नाव धारा के अनुकूल 24 km 2 घंटे में और प्रतिकूल 12 km 2 घंटे में जाती है। नाव और धारा की चाल?
D = 12, U = 6 → u = 9 km/h, v = 3 km/h।
🧠 याद रखें "Down में Plus, Up में Minus" — धारा के साथ (नीचे) चाल जुड़ती है, धारा के विरुद्ध (ऊपर) घटती है।
12. क्षेत्रमिति (Mensuration) — 2D और 3D

क्षेत्रमिति के प्रश्न सीधे सूत्र पर आधारित होते हैं। नीचे की दोनों तालिकाएँ पूरी याद कर लें — Group D में 2–3 प्रश्न पक्के होते हैं।

2D आकृतियाँ (समतल)

आकृतिक्षेत्रफलपरिमापअन्य
आयत (l × b)l × b2(l + b)विकर्ण = √(l² + b²)
वर्ग (भुजा a)a²4aविकर्ण = a√2; क्षेत्रफल = d²/2
त्रिभुज½ × आधार × ऊँचाईa + b + cहीरोन: √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
समबाहु त्रिभुज (a)(√3/4)a²3aऊँचाई = (√3/2)a
समकोण त्रिभुज½ × आधार × लंब—कर्ण² = आधार² + लंब²
वृत्त (त्रिज्या r)πr²2πr (परिधि)अर्धवृत्त परिमाप = πr + 2r
समांतर चतुर्भुजआधार × ऊँचाई2(a + b)—
समचतुर्भुज (Rhombus)½ × d₁ × d₂4a4a² = d₁² + d₂²
समलंब (Trapezium)½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई——
त्रिज्यखंड (Sector, कोण θ)(θ/360) × πr²चाप = (θ/360) × 2πr—
lbd आयत आधारलंबकर्ण समकोण त्रिभुज r वृत्त
चित्र: आयत का विकर्ण d, समकोण त्रिभुज के तीन भाग, वृत्त की त्रिज्या r
🔑 पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplets) (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (20, 21, 29) — और इनके गुणज जैसे (6, 8, 10), (9, 12, 15)। इन्हें पहचानते ही कर्ण बिना गणना के मिल जाता है।

3D आकृतियाँ (ठोस)

ठोसआयतनवक्र/पार्श्व पृष्ठकुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
घनाभ (l, b, h)l × b × h2h(l + b)2(lb + bh + hl)
घन (a)a³4a²6a²
बेलन (r, h)πr²h2πrh2πr(r + h)
शंकु (r, h, l)⅓πr²hπrlπr(r + l)
गोला (r)(4/3)πr³4πr²4πr²
अर्धगोला (r)(2/3)πr³2πr²3πr²

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)। घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²), घन का विकर्ण = a√3।

✅ हल किया गया उदाहरण 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन? → (22/7) × 49 × 10 = 1,540 cm³।
⚡ अनुपात वाली Trick
  • समान त्रिज्या और ऊँचाई पर बेलन : शंकु : अर्धगोला (h = r) के आयतन = 3 : 1 : 2।
  • त्रिज्या दोगुनी → वृत्त का क्षेत्रफल 4 गुना, गोले का आयतन 8 गुना।
  • वर्ग की भुजा 10% बढ़ाने पर क्षेत्रफल 21% बढ़ता है (10 + 10 + 1)।
⚠ इकाई (Unit) की गलती 1 m = 100 cm, 1 m² = 10,000 cm², 1 m³ = 10,00,000 cm³, 1 लीटर = 1,000 cm³, 1 m³ = 1,000 लीटर। प्रश्न में इकाई मिली-जुली हो तो पहले एक जैसी करें।
13. ज्यामिति (Geometry)

रेखाएँ और कोण

कोणमापयाद रखें
न्यूनकोण (Acute)0° से 90° के बीच—
समकोण (Right)ठीक 90°—
अधिककोण (Obtuse)90° से 180° के बीच—
ऋजुकोण (Straight)180°—
प्रतिवर्ती (Reflex)180° से 360° के बीच—
पूरक कोण (Complementary)योग 90°30° का पूरक 60°
संपूरक कोण (Supplementary)योग 180°70° का संपूरक 110°
🔑 समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा एकांतर कोण (Alternate) बराबर, संगत कोण (Corresponding) बराबर, एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180°। शीर्षाभिमुख कोण (Vertically opposite) हमेशा बराबर।

त्रिभुज के गुण

  • त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°।
  • बहिष्कोण = दोनों अंतः सम्मुख कोणों का योग।
  • किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है (3, 4, 8 से त्रिभुज नहीं बनता)।
  • सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होता है।
  • समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात।
केंद्रकिससे बनता हैविशेष गुण
केन्द्रक (Centroid)माध्यिकाओं (Medians) का प्रतिच्छेदमाध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है
अंतःकेंद्र (Incentre)कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदअंतःवृत्त का केंद्र; सदा त्रिभुज के अंदर
परिकेंद्र (Circumcentre)भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदसमकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य-बिंदु
लंबकेंद्र (Orthocentre)शीर्षलंबों (Altitudes) का प्रतिच्छेदसमकोण त्रिभुज में समकोण वाला शीर्ष
🧠 Trick: "मा-को-लं-शी" माध्यिका → केन्द्रक, कोण समद्विभाजक → अंतःकेंद्र, लंब समद्विभाजक → परिकेंद्र, शीर्षलंब → लंबकेंद्र। समबाहु त्रिभुज में चारों एक ही बिंदु पर होते हैं।

बहुभुज (Polygon)

n भुजाओं के बहुभुज के अंतः कोणों का योग = (n − 2) × 180° सम बहुभुज का प्रत्येक बहिष्कोण = 360°/n विकर्णों की संख्या = n(n − 3)/2
✅ हल किया गया उदाहरण एक सम बहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 144° है। भुजाओं की संख्या?
बहिष्कोण = 180 − 144 = 36° → n = 360/36 = 10।

वृत्त के गुण

  • केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
  • अर्धवृत्त में बना कोण समकोण (90°) होता है।
  • एक ही चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
  • स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
  • बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।
  • चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
14. त्रिकोणमिति (Trigonometry)

समकोण त्रिभुज में कोण θ के लिए — लंब (P), आधार (B), कर्ण (H):

sin θ = P/H cos θ = B/H tan θ = P/B cosec θ = H/P sec θ = H/B cot θ = B/P
🧠 याद करने की पंक्ति "पंडित बद्री प्रसाद, हर हर बोले" → sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B (ऊपर: P, B, P; नीचे: H, H, B)।

मानक कोणों का मान (Standard values)

कोण0°30°45°60°90°
sin01/21/√2√3/21
cos1√3/21/√21/20
tan01/√31√3अपरिभाषित
⚡ Table बनाने की Trick sin के लिए 0, 1, 2, 3, 4 लिखें → 4 से भाग दें → वर्गमूल लें: √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4) = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1। cos के लिए यही उल्टे क्रम में।

सर्वसमिकाएँ (Identities)

sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = cosec²θ sin(90° − θ) = cos θ tan(90° − θ) = cot θ sec(90° − θ) = cosec θ
✅ हल किया गया उदाहरण sin 25° / cos 65° का मान? → cos 65° = sin 25° → उत्तर 1।
tan 10° × tan 20° × tan 70° × tan 80° = (tan 10° × cot 10°)(tan 20° × cot 20°) = 1।

ऊँचाई और दूरी

θ ऊँचाई hदूरी d प्रेक्षकमीनार
उन्नयन कोण θ: tan θ = h / d
✅ हल किया गया उदाहरण एक मीनार के पाद से 30 m दूर बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई?
tan 60° = h/30 → h = 30√3 ≈ 51.96 m।
15. बीजगणित (Algebra)
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² a² − b² = (a + b)(a − b) (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc
🔑 x + 1/x वाले प्रश्न यदि x + 1/x = k तो x² + 1/x² = k² − 2 और x³ + 1/x³ = k³ − 3k।
उदाहरण: x + 1/x = 4 → x² + 1/x² = 14, x³ + 1/x³ = 64 − 12 = 52।

रैखिक और द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

विविक्तकर (D = b² − 4ac)मूलों की प्रकृति
D > 0दो भिन्न वास्तविक मूल
D = 0दो बराबर वास्तविक मूल
D < 0कोई वास्तविक मूल नहीं

मूलों का योग = −b/a, मूलों का गुणनफल = c/a।

✅ हल किया गया उदाहरण x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 या 4। जाँच: योग 7 = −(−7)/1 ✔, गुणनफल 12 ✔।
⚡ मान रखने की Trick (Value putting) बीजगणित के कठिन दिखने वाले प्रश्नों में शर्त मानने वाला आसान मान रखें। जैसे a + b + c = 0 हो तो a = 1, b = 1, c = −2 रखकर विकल्प जाँचें।
16. सांख्यिकी (Statistics) और डेटा
मापअर्थउदाहरण: 3, 5, 5, 7, 10
माध्य (Mean)योग / संख्या30/5 = 6
माध्यिका (Median)बढ़ते क्रम में बीच का मान5
बहुलक (Mode)सबसे अधिक बार आने वाला मान5
परिसर (Range)अधिकतम − न्यूनतम10 − 3 = 7
संख्या n विषम हो → माध्यिका = (n + 1)/2 वाँ पद संख्या n सम हो → माध्यिका = (n/2 वाँ पद + (n/2 + 1) वाँ पद)/2 अनुभवजन्य संबंध: बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य
✅ हल किया गया उदाहरण आँकड़े: 12, 7, 15, 9, 11, 20 → क्रम में: 7, 9, 11, 12, 15, 20 (n = 6)
माध्यिका = (11 + 12)/2 = 11.5।

📊 Chart का उदाहरण — किसी दुकान की 5 दिन की बिक्री (₹ हज़ार में)

सोमवार — 20
मंगलवार — 35
बुधवार — 25
गुरुवार — 40
शुक्रवार — 30

औसत बिक्री = 150/5 = ₹30 हज़ार। सबसे अधिक वृद्धि सोमवार से मंगलवार (75%) हुई। डेटा वाले प्रश्नों में पहले कुल योग निकाल लें, फिर प्रतिशत और अनुपात आसानी से निकलते हैं।

✎ परीक्षा-स्तर के 10 हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. 0.1 + 0.01 + 0.001 = ? → 0.111 (दशमलव को सीध में लिखकर जोड़ें)।

प्रश्न 2. एक संख्या का 35% = 175 है। संख्या का 60%? → संख्या = 500 → 60% = 300।

प्रश्न 3. कोई वस्तु ₹840 में बेचने पर 20% हानि होती है। 10% लाभ के लिए विक्रय मूल्य? → CP = 840/0.8 = 1,050 → SP = 1,050 × 1.1 = ₹1,155।

प्रश्न 4. ₹8,000 पर 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज, 2 वर्ष का ब्याज? → 8,000 × 10.25% = ₹820।

प्रश्न 5. A अकेला किसी काम को 10 दिन में और B 15 दिन में करता है। दोनों 4 दिन साथ काम करते हैं, शेष काम B कितने दिन में करेगा? → कुल = 30 इकाई; A = 3, B = 2; 4 दिन में 20 इकाई; शेष 10 इकाई ÷ 2 = 5 दिन।

प्रश्न 6. 72 km/h की ट्रेन एक खंभे को 9 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की लंबाई? → 20 m/s × 9 = 180 m।

प्रश्न 7. एक वर्ग का विकर्ण 10√2 cm है। उसका क्षेत्रफल? → भुजा = 10 → 100 cm²।

प्रश्न 8. 5 संख्याओं का औसत 18 है। एक संख्या हटाने पर औसत 16 हो जाता है। हटाई गई संख्या? → 90 − 64 = 26।

प्रश्न 9. यदि tan θ = 3/4 हो, तो sin θ का मान? → P = 3, B = 4, H = 5 → sin θ = 3/5।

प्रश्न 10. दो संख्याओं का LCM 180 और HCF 6 है। एक संख्या 30 है, दूसरी? → 180 × 6/30 = 36।

⚡ गणित के 20 One-liners (अंतिम रिवीज़न)
  1. 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं।
  2. दो संख्याओं का गुणनफल = उनका LCM × HCF।
  3. 0 पूर्ण संख्या है पर प्राकृत संख्या नहीं।
  4. √2, √3, π अपरिमेय संख्याएँ हैं; आवर्ती दशमलव परिमेय हैं।
  5. ABCABC प्रकार की हर संख्या 1001 (= 7 × 11 × 13) से विभाज्य है।
  6. x% वृद्धि फिर x% कमी से हमेशा x²/100 % की शुद्ध कमी होती है।
  7. लाभ और हानि का प्रतिशत CP पर, छूट का प्रतिशत MP पर निकलता है।
  8. क्रमागत छूट 20% और 10% = कुल 28% छूट।
  9. SI पर राशि दोगुनी होने का समय = 100/दर।
  10. 2 वर्ष में CI − SI = P(R/100)²।
  11. साझेदारी में लाभ = पूँजी × समय के अनुपात में।
  12. समान दूरी के लिए औसत चाल = 2xy/(x + y)।
  13. km/h को m/s में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें।
  14. ट्रेन प्लेटफ़ॉर्म पार करे तो दूरी = ट्रेन + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई।
  15. शांत जल में नाव की चाल = (अनुप्रवाह + ऊर्ध्वप्रवाह)/2।
  16. गोले का आयतन (4/3)πr³ और पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr²।
  17. त्रिभुज के कोणों का योग 180°, बहुभुज के अंतःकोणों का योग (n − 2) × 180°।
  18. केन्द्रक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है।
  19. sin²θ + cos²θ = 1; tan 45° = 1।
  20. बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य।
17. ✅ Master Summary Table — एक नज़र में पूरा गणित
अध्यायमुख्य सूत्र / नियमसबसे तेज़ Trickआम गलती
संख्या पद्धतिविभाज्यता नियम, इकाई अंक चक्रघात ÷ 4 का शेषफल1 को अभाज्य मानना
LCM-HCFगुणनफल = LCM × HCF"एक साथ" = LCM, "सबसे बड़ा" = HCFदोनों को उलट देना
सरलीकरणBODMASअनुमान (approximation)"of" को भाग के बाद लगाना
प्रतिशतa + b + ab/100भिन्न-विधि (25% = 1/4)आधार बदल देना
लाभ-हानिCP/MP = (100 − d)/(100 + p)लाभ% CP पर, छूट MP परलाभ% SP पर निकालना
SI / CIPRT/100; P(1 + R/100)ᵀप्रभावी दर (10% → 21%)CI में दर को सीधे जोड़ना
अनुपात, मिश्रणa×d = b×c; एलिगेशनक्रॉस विधिस्थिर राशि को बदलना
औसत, आयुयोग = औसत × संख्याआयु का अंतर स्थिरऔसत चाल = (x + y)/2 लेना
समय-कार्यएक दिन का काम = 1/nLCM = कुल कामदिनों को जोड़ देना
समय-चाल-दूरीD = S × T; ×5/18सापेक्ष चालट्रेन की लंबाई भूल जाना
क्षेत्रमिति2D और 3D तालिकाएँपाइथागोरस त्रिक, 3 : 1 : 2इकाई न बदलना
ज्यामितिकोण योग 180°, (n − 2)180°बहिष्कोण = 360/nकेंद्रों के नाम उलटना
त्रिकोणमितिsin²θ + cos²θ = 1पूरक कोण: sin ↔ costan 90° को 0 मानना
बीजगणितसर्वसमिकाएँ, x + 1/xमान रखकर जाँचना(a + b)² = a² + b² लिखना
सांख्यिकीमाध्य, माध्यिका, बहुलकपहले क्रम में लगाएँबिना क्रम के माध्यिका लेना
🏆 परीक्षा-दिवस की रणनीति
  • पहले आसान प्रश्न (सरलीकरण, प्रतिशत, औसत) — 30 सेकंड वाले।
  • लंबी गणना वाले प्रश्न (मिश्रण, क्षेत्रमिति के बहु-चरण) अंत में।
  • −1/3 नेगेटिव मार्किंग है — 2 विकल्प हटाने के बाद ही अनुमान लगाएँ।
  • हर दिन कम से कम 25 प्रश्न समय लगाकर हल करें और हमारे 10 फ्री मॉक टेस्ट दें।

© Exam-Ki-Aisi-Ki-Taisi.com — RRB Group D गणित Notes। यह सामग्री मौलिक रूप से तैयार की गई है (NCERT पाठ्यक्रम और परीक्षा पैटर्न पर आधारित)।
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