Mechanics and Fluid Dynamics — UPSC Mathematics Optional Notes (Hindi)

1. अध्याय एक नज़र में

Paper II का अंतिम खंड mechanics और fluid dynamics है। हर वर्ष इससे 60-80 अंक के प्रश्न आते हैं। सिलेबस:

mechanics: generalised coordinates (Generalized Coordinates); D'Alembert सिद्धांत और Lagrange equation; Hamilton equation; moment of inertia; दो dimensions में दृढ़ पिंडों की गति।
fluid dynamics: continuity equation; inviscid flow के लिए Euler का गति-equation; streamlines, particle का पथ; potential flow; द्वि-dimensional और अक्षीय-symmetric गति; स्रोत और sink (source, sink), vortex गति (vortex motion); viscous fluid के लिए Navier-Stokes equation।

2025 में cycloid पर मनके का Lagrangian, वृत्ताकार boundary में स्रोत-sink, cylinder का moment of inertia, Couette-Poiseuille flow, और दो Hamiltonian प्रश्न पूछे गए। 2024 में plank पर चलता मनुष्य, velocity potential से streamlines, elliptic quadrant का moment of inertia, velocity-क्षेत्र से pressure, और vortex-pair की streamlines आए।

2. Lagrange और Hamilton mechanics

generalised coordinates q₁, …, q_n: तंत्र का विन्यास निर्धारित करने वाले स्वतंत्र variable; n = स्वातंत्र्य-order (degrees of freedom)।
constraint: होलोनॉमिक (f(q, t) = 0), अहोलोनॉमिक; स्क्लेरोनॉमिक (समय-मुक्त), रियोनॉमिक।
D'Alembert सिद्धांत: Σ(F_i − m_ir̈_i)·δr_i = 0 (virtual work का गतिक रूप)।
Lagrange equation (L = T − V, conservative बल):

d/dt(∂L/∂q̇_k) − ∂L/∂q_k = 0, k = 1, …, n

cyclic coordinates: L में q_k न हो तो p_k = ∂L/∂q̇_k conserved।
Hamiltonian: p_k = ∂L/∂q̇_k; H = Σp_kq̇_k − L (q̇ को p में व्यक्त करके)। प्राकृतिक तंत्र (T, q̇ में quadratic, समय-मुक्त constraint) में H = T + V।

Hamilton equation: q̇_k = ∂H/∂p_k, ṗ_k = −∂H/∂q_k; dH/dt = ∂H/∂t

spherical coordinates में kinetic energy: T = (m/2)(ṙ² + r²θ̇² + r²sin²θ φ̇²)।
polar: T = (m/2)(ṙ² + r²θ̇²)।

3. moment of inertia

परिभाषा: I = Σmr² = ∫r² dm (r = axis से दूरी)। inertia product: I_xy = ∫xy dm।
parallel axis theorem: I = I_G + Md²। perpendicular axis theorem (plane lamina): I_z = I_x + I_y।
मुख्य axis (Principal Axes): जिनके सापेक्ष inertia product शून्य; symmetry-axis सदैव मुख्य axis।
मोमेंटल ellipsoid: Ax² + By² + Cz² − 2Fyz − 2Gzx − 2Hxy = 1; किसी दिशा (l, m, n) के सापेक्ष I = Al² + Bm² + Cn² − 2Fmn − 2Gnl − 2Hlm।

body (mass M)	axis	I
पतली rod, लंबाई L	केंद्र से, perpendicular	ML²/12
ring, radius R	केंद्र से, plane पर perpendicular	MR²
disc	केंद्र से, plane पर perpendicular	MR²/2
आयताकार lamina a × b	केंद्र से, plane पर perpendicular	M(a² + b²)/12
ठोस sphere	diameter	2MR²/5
खोखला sphere	diameter	2MR²/3
ठोस cylinder (R, L)	अपना axis	MR²/2
ठोस cylinder (R, L)	केंद्र से, axis पर perpendicular	M(R²/4 + L²/12)
elliptic lamina (a, b)	केंद्र से, plane पर perpendicular	M(a² + b²)/4

दो dimensions में rigid body की गति: centre of gravity की गति (Mẍ_G = ΣF_x), G के सापेक्ष rotation (I_Gθ̈ = ΣM_G)। external horizontal बल शून्य हो तो G की horizontal स्थिति (rest से) नहीं बदलती; angular momentum और energy conservation।

4. fluid dynamics: dynamics और मूल equation

Lagrangian और Eulerian वर्णन; material derivative D/Dt = ∂/∂t + q·∇।
streamlines: dx/u = dy/v = dz/w (steady flow में particle-पथ के समान)।
continuity equation: ∂ρ/∂t + ∇·(ρq) = 0; incompressible: ∇·q = 0।
irrotational flow: ∇ × q = 0 ⇒ velocity potential φ (इस अध्याय में convention q = −∇φ या q = ∇φ, प्रश्न के अनुसार; दोनों में streamlines समान)। incompressible और irrotational ⇒ ∇²φ = 0।
Euler का गति-equation (inviscid):

∂q/∂t + (q·∇)q = F − (1/ρ)∇p

Bernoulli (स्थिर, irrotational, conservative बल F = −∇Ω): p/ρ + q²/2 + Ω = constant

Navier-Stokes (viscous, incompressible, μ constant):

ρ(∂q/∂t + (q·∇)q) = ρF − ∇p + μ∇²q

parallel प्लेटों के बीच flow: u = u(y), v = w = 0, p = p(x): μu″ = dp/dx। कूएट (केवल गतिमान plate), पोइज़ुई (केवल pressure-प्रवणता), और दोनों का योग।

5. द्वि-dimensional potential flow

धारा function ψ: u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x (incompressible); ψ = constant ⇒ flow रेखा।
complex potential w = φ + iψ (q = ∇φ convention में): dw/dz = u − iv; गति q = |dw/dz|।

flow	complex potential w(z)
uniform flow U (x-दिशा)	Uz
सामर्थ्य m का स्रोत, z₀ पर	m log(z − z₀) (sink: −m log)
doublet	μ/z
circulation κ का vortex (anticlockwise)	−(iκ/2π) log(z − z₀)
cylinder के चारों ओर uniform flow	U(z + a²/z)

image:
- plane दीवार: स्रोत का image समान स्रोत; vortex का image विपरीत vortex।
- वृत्त |z| = a (मिलन-Thomson वृत्त theorem: w = f(z) + f̄(a²/z)): c पर स्रोत (|c| < a) का image a²/c̄ पर समान स्रोत + केंद्र पर समान sink।
vortex गति: एक vortex स्वयं नहीं चलता, दूसरों द्वारा प्रेरित velocity से चलता है। circulation κ का vortex दूरी d पर velocity κ/(2πd) प्रेरित करता है। समान और विपरीत vortex-pair (दूरी 2a): दोनों κ/(4πa) velocity से, संयोजक रेखा पर perpendicular दिशा में साथ चलते हैं। उनके साथ चलते निर्देश-तंत्र में flow स्थिर होता है।
एक बिंदु से दो बिंदुओं के कोणों का अंतर: arg(z − c) − arg(z + c) = tan⁻¹[2cy/(r² − c²)] (flow रेखाओं की गणना में उपयोगी)।

6. Master Formula Table

विषय	सूत्र
Lagrange equation	d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0
सामान्यीकृत momentum	p = ∂L/∂q̇
Hamiltonian	H = Σpq̇ − L
Hamilton equation	q̇ = ∂H/∂p; ṗ = −∂H/∂q
spherical T	(m/2)(ṙ² + r²θ̇² + r²sin²θ φ̇²)
parallel axis	I = I_G + Md²
perpendicular axis	I_z = I_x + I_y
cylinder (central perpendicular axis)	M(3R² + L²)/12; minimum (दिए M पर) L/R = √(3/2)
continuity	∂ρ/∂t + ∇·(ρq) = 0
flow रेखा	dx/u = dy/v = dz/w
Euler	Dq/Dt = F − ∇p/ρ
Bernoulli	p/ρ + q²/2 + Ω = constant
Navier-Stokes	ρDq/Dt = ρF − ∇p + μ∇²q
complex potential	dw/dz = u − iv
वृत्त theorem	w = f(z) + f̄(a²/z)
vortex-pair velocity	κ/(4πa)

7. चार्ट: वृत्ताकार boundary में स्रोत-sink और उनके image

वृत्त r = a में c पर स्रोत का image a²/c पर स्रोत (और केंद्र पर sink) होता है। यहाँ स्रोत और sink के central image परस्पर निरस्त हो जाते हैं, इसलिए तंत्र में केवल चार बिंदु बचते हैं।

8. Mind Map

mechanics एवं fluid dynamics

Lagrange

generalised coordinates
E-L equation, cyclic

Hamilton

H = Σpq̇ − L
canonical equation

rigid body

moment of inertia, theorem
momentum conservation

आदर्श fluid

continuity, Euler, Bernoulli
w(z), स्रोत, vortex, image

viscous fluid

Navier-Stokes
Couette-Poiseuille

9. महत्वपूर्ण One-liners

cyclic coordinates का conjugate momentum conserved।
प्राकृतिक तंत्र में H = T + V (कुल energy)।
ठोस sphere का diameter के सापेक्ष I = 2MR²/5।
incompressible flow: ∇·q = 0; irrotational + incompressible: ∇²φ = 0।
steady flow में streamlines और particle-पथ समान।
doublet का complex potential μ/z।
वृत्त में a/2 पर स्रोत का image 2a पर।
vortex-pair का velocity κ/(4πa), संयोजक रेखा पर perpendicular।

10. टिप्स एवं ट्रिक्स

उत्तर-लेखन

Lagrangian प्रश्नों में पहले T और V अलग-अलग लिखें, फिर L; अंत में E-L equation।
Hamiltonian बनाते समय q̇ को p के terms में पूरी तरह बदलें; H में कोई q̇ न रहे।
fluid-प्रश्नों में convention (q = ∇φ या −∇φ; w के sign) पहली row में स्पष्ट लिखें।
"दिए velocity-क्षेत्र का pressure" में पहले अघूर्णिता जाँचें; irrotational हो तो सीधे Bernoulli।

याद रखने की तरकीब

Hamilton equation: "q̇ positive, ṗ negative" (q̇ = +∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q)।

सामान्य भूल

cylinder के अनुप्रस्थ axis के सापेक्ष I में केवल L²/12 लिखना; सही सूत्र M(R²/4 + L²/12) है (disc और rod दोनों का योगदान)।

11. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper II · 5(d) · 10 अंक

mass m का मनका x = a(θ − sinθ), y = a(1 + cosθ) (0 ≤ θ ≤ 2π) आकार के friction-रहित तार पर फिसलता है। Lagrangian ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि u = cos(θ/2) रखने पर गति-equation d²u/dt² + (g/4a)u = 0 होता है।

हल

ẋ = a(1 − cosθ)θ̇, ẏ = −a sinθ θ̇ ⇒ ẋ² + ẏ² = 2a²(1 − cosθ)θ̇² = 4a² sin²(θ/2) θ̇²।

T = 2ma² sin²(θ/2)θ̇²; V = mga(1 + cosθ) = 2mga cos²(θ/2); L = 2ma² sin²(θ/2)θ̇² − 2mga cos²(θ/2)

u = cos(θ/2): u̇ = −½sin(θ/2)θ̇ ⇒ sin²(θ/2)θ̇² = 4u̇²। अतः L = 8ma²u̇² − 2mga u²।

E-L: 16ma²ü + 4mga u = 0 ⇒ ü + (g/4a)u = 0

यानी u simple harmonic motion करता है, time period 4π√(a/g), जो amplitude पर निर्भर नहीं (cycloid का समकालिकता (tautochrone) गुण)।

Q2UPSC 2024 · Paper II · 5(d) · 10 अंक

mass m और लंबाई 2a का खुरदरा uniform plank smooth horizontal plane पर है और mass M का मनुष्य उस पर एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता है। इस दौरान plank द्वारा तय दूरी ज्ञात कीजिए।

हल

तंत्र (मनुष्य + plank) पर कोई external horizontal बल नहीं (plane smooth); प्रारंभ में विराम ⇒ संयुक्त centre of gravity की horizontal स्थिति स्थिर।

plank विपरीत दिशा में X खिसके; मनुष्य plank के सापेक्ष 2a चलता है, अतः भूमि के सापेक्ष 2a − X।

M(2a − X) = mX ⇒ X = 2Ma/(M + m)

Q3UPSC 2025 · Paper II · 5(e) · 10 अंक

समान सामर्थ्य का एक स्रोत और एक sink स्थिर वृत्ताकार boundary x² + y² = a² के अंदर बिंदुओं (±a/2, 0) पर हैं। दिखाइए कि streamlines (r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y² = ky(r² − a²) से दी जाती हैं।

हल

image (चार्ट): a/2 पर स्रोत का image 2a पर स्रोत + केंद्र पर sink; −a/2 पर sink का image −2a पर sink + केंद्र पर स्रोत। केंद्र वाले निरस्त। अतः स्रोत a/2, 2a; sink −a/2, −2a।

ψ = −m(θ₁ + θ₂ − θ₃ − θ₄), अतः streamlines (θ₁ − θ₃) + (θ₂ − θ₄) = constant। सूत्र arg(z − c) − arg(z + c) = tan⁻¹[2cy/(r² − c²)] से:

tan⁻¹[ay/(r² − a²/4)] + tan⁻¹[4ay/(r² − 4a²)] = constant

tan(A + B) = (t₁ + t₂)/(1 − t₁t₂) = constant। D = (r² − a²/4)(r² − 4a²) लें: t₁ + t₂ = 5ay(r² − a²)/D, 1 − t₁t₂ = (D − 4a²y²)/D।

(r² − a²/4)(r² − 4a²) − 4a²y² = ky(r² − a²)

(r = a पर बायाँ पक्ष (3a²/4)(−3a²) − 4a²y² ≠ 0, पर दायाँ पक्ष 0: इससे पुष्टि होती है कि boundary r = a स्वयं एक flow रेखा है, k → ∞ वाली।)

Q4UPSC 2024 · Paper II · 5(e) · 10 अंक

एक flow का velocity potential φ = ½(x² + y² − 2z²) है। streamlines ज्ञात कीजिए।

हल

q = −∇φ = (−x, −y, 2z)। (∇²φ = 1 + 1 − 2 = 0, अतः incompressible flow संभव।)

dx/(−x) = dy/(−y) = dz/(2z)

पहले दो से x = c₁y; पहले और तीसरे से 2 dx/x = −dz/z ⇒ x²z = c₂।

streamlines: x = c₁y, x²z = c₂ (convention q = ∇φ लेने पर भी यही curve)।

Q5UPSC 2025 · Paper II · 6(c)

mass M, radius R और लंबाई L के uniform ठोस cylinder का, केंद्र से होकर जाने वाले axes के set के सापेक्ष moment of inertia ज्ञात कीजिए (z-axis = cylinder का axis, density ρ constant)। दिए गए mass के लिए L/R भी ज्ञात कीजिए जिस पर x- या y-axis के सापेक्ष moment of inertia minimum हो।

हल

cylindrical coordinates, M = ρπR²L।

I_z = ∫∫∫ρr²·r dr dθ dz = ρ(R⁴/4)(2π)L = MR²/2

I_x = ∫ρ(y² + z²)dV। ∫y²dV = ½∫r²dV = (R²/4)·M/ρ, ∫z²dV = πR²·L³/12।

I_x = I_y = M(R²/4 + L²/12) = M(3R² + L²)/12

symmetry से inertia product शून्य, अतः ये मुख्य axis हैं।

minimisation: M (और volume V = πR²L) स्थिर ⇒ R² = V/(πL)। I_x = (M/12)(3V/(πL) + L²)।

dI_x/dL = (M/12)(−3V/(πL²) + 2L) = 0 ⇒ 2L³ = 3R²L ⇒ L/R = √(3/2) ≈ 1.22

द्वितीय derivative positive, अतः minimum।

Q6UPSC 2024 · Paper II · 6(c)

elliptic disc x²/a² + y²/b² = 1 के एक quadrant (mass M) का, केंद्र से होकर plane पर perpendicular रेखा के सापेक्ष moment of inertia ज्ञात कीजिए, जबकि किसी बिंदु पर density xy के समानुपाती है।

हल

ρ = kxy; x = ar cosθ, y = br sinθ, dA = ab r dr dθ (0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2)।

M = k a²b² ∫₀¹r³dr ∫₀^π/2sinθ cosθ dθ = k a²b²/8

I = k∬xy(x² + y²)dA = k a²b² ∫₀¹r⁵dr ∫₀^π/2(a²cos³θ sinθ + b²cosθ sin³θ)dθ = k a²b²(a² + b²)/24

I = M(a² + b²)/3

Q7UPSC 2025 · Paper II · 7(c)

दिखाइए कि constant श्यानता वाले incompressible steady flow के लिए velocity-घटक u(y) = (U/h)y − (hy/2μ)(dp/dx)(1 − y/h), v = 0 = w, p = p(x), देह-बल के अभाव में गति-equations को संतुष्ट करते हैं (U, h, dp/dx constant)।

हल

continuity: ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 + 0 + 0 ✓ (u केवल y पर निर्भर)।

x-Navier-Stokes: ρ(u∂u/∂x + v∂u/∂y) = −dp/dx + μ d²u/dy²। बायाँ पक्ष 0 (∂u/∂x = 0, v = 0)।

u = (U/h)y − (1/2μ)(dp/dx)(hy − y²) ⇒ u″ = (1/μ)(dp/dx) ⇒ −dp/dx + μu″ = 0 ✓।

y, z-equation: 0 = −∂p/∂y, 0 = −∂p/∂z ✓ (p = p(x))।

boundary-शर्तें: u(0) = 0 (स्थिर plate), u(h) = U (गतिमान plate) ✓। यह कूएट (linear) और पोइज़ुई (parabolic) flow का योग है।

Q8UPSC 2024 · Paper II · 7(c)

velocity-क्षेत्र u = B(x² − y²)/(x² + y²)², v = 2Bxy/(x² + y²)², w = 0 inviscid incompressible flow के गति-equations को संतुष्ट करता है (B constant)। इससे संबद्ध pressure ज्ञात कीजिए।

हल

u − iv = B(x² − y² − 2ixy)/|z|⁴ = B z̄²/|z|⁴ = B/z²। यह z का analytic function है, अतः flow incompressible और irrotational (CR equation); w(z) = −B/z (doublet)।

स्थिर, irrotational flow में Bernoulli हर जगह लागू: p + ½ρq² = C। q² = |B/z²|² = B²/(x² + y²)²।

p = C − ρB² / [2(x² + y²)²]

(C = अनंत पर pressure p_∞।)

Q9UPSC 2025 · Paper II · 8(c)

(i) potential V(r) = −k cosθ/r² वाले बल-क्षेत्र में mass m का particle गतिमान है। spherical polar coordinates (r, θ, φ) में Hamiltonian और Hamilton equation ज्ञात कीजिए। (ii) Lagrangian L = mẋẏ − mω₀²xy के लिए Hamiltonian और गति के Hamilton equation ज्ञात कीजिए। तंत्र की पहचान बताइए।

हल

(i) p_r = mṙ, p_θ = mr²θ̇, p_φ = mr²sin²θ φ̇।

H = p_r²/(2m) + p_θ²/(2mr²) + p_φ²/(2mr²sin²θ) − k cosθ/r²

ṙ = p_r/m; θ̇ = p_θ/(mr²); φ̇ = p_φ/(mr²sin²θ)
ṗ_r = p_θ²/(mr³) + p_φ²/(mr³sin²θ) − 2k cosθ/r³
ṗ_θ = p_φ² cosθ/(mr²sin³θ) − k sinθ/r²
ṗ_φ = 0 (φ cyclic; z-axis के परितः angular momentum conserved)

(ii) p_x = ∂L/∂ẋ = mẏ, p_y = mẋ।

H = p_xẋ + p_yẏ − L = p_xp_y/m + mω₀²xy

ẋ = p_y/m, ẏ = p_x/m, ṗ_x = −mω₀²y, ṗ_y = −mω₀²x ⇒ ẍ = −ω₀²x, ÿ = −ω₀²y।

पहचान: angular आवृत्ति ω₀ वाले दो स्वतंत्र सरल आवर्ती oscillator, यानी द्वि-dimensional समदैशिक (isotropic) oscillator, घुमाए हुए variables में लिखा गया: u = (x + y)/√2, v = (x − y)/√2 रखने पर L = (m/2)(u̇² − v̇²) − (mω₀²/2)(u² − v²)।

Q10UPSC 2024 · Paper II · 8(c)

अनंत fluid में दो parallel, समान और विपरीत सरलरेखीय vortex 2a दूरी पर हैं। दिखाइए कि भ्रमिलों के सापेक्ष streamlines log[(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a = C हैं (origin संयोजक रेखा का मध्य, संयोजक रेखा y-axis)।

हल

(0, a) पर circulation κ (anticlockwise) और (0, −a) पर −κ। धारा function (convention u = ∂ψ/∂y):

ψ = −(κ/2π)ln r₁ + (κ/2π)ln r₂ = (κ/4π) ln[(x² + (y + a)²)/(x² + (y − a)²)]

pair का velocity: प्रत्येक vortex दूसरे पर 2a दूरी से κ/(2π·2a) = κ/(4πa) velocity प्रेरित करता है; दोनों x-दिशा में V = κ/(4πa) से साथ चलते हैं।

सापेक्ष flow: −V velocity का uniform flow जोड़ें (ψ = −Vy):

ψ_{सापेक्ष} = (κ/4π) ln[(x² + (y + a)²)/(x² + (y − a)²)] − (κ/4πa)y = constant

−4π/κ से गुणा करने पर:

log[(x² + (y − a)²)/(x² + (y + a)²)] + y/a = C

Q11अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

लंबाई l के सरल लोलक (mass m) का Lagrangian और Hamiltonian लिखिए, Hamilton equation निकालिए और लघु दोलनों का time period ज्ञात कीजिए।

हल

T = ½ml²θ̇², V = −mgl cosθ ⇒ L = ½ml²θ̇² + mgl cosθ।

p_θ = ml²θ̇ ⇒ H = p_θ²/(2ml²) − mgl cosθ।

θ̇ = p_θ/(ml²); ṗ_θ = −mgl sinθ ⇒ θ̈ + (g/l)sinθ = 0

लघु oscillation: sinθ ≈ θ ⇒ SHM, T = 2π√(l/g)।

12. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

Lagrange-Hamilton: T, V, L; E-L; cyclic coordinates; H = Σpq̇ − L; canonical equation; spherical T।
moment of inertia: दो theorem; मानक तालिका; cylinder का अनुप्रस्थ सूत्र और L/R = √(3/2); density-भारित integral।
rigid body: centre of gravity की गति, momentum conservation (plank-मनुष्य)।
fluid: continuity; streamlines; Euler; Bernoulli से pressure; w(z) तालिका; वृत्त theorem और image; vortex-pair।
viscous: Navier-Stokes; Couette-Poiseuille का सत्यापन।

Mathematics — सभी अध्याय सभी विषय

यांत्रिकी एवं तरल गतिकी