Linear Algebra — UPSC Mathematics Optional Notes (Hindi)

1. अध्याय एक नज़र में

Paper I का पहला खंड linear algebra है। हर वर्ष Q1, Q2, Q3 या Q4 में इससे 40-60 अंक के प्रश्न आते हैं। सिलेबस:

vector space ℝ और ℂ पर; linear dependence और independence; subspace; basis; dimension।
linear transformation: rank, nullity; linear transformation का matrix।
matrices का algebra: row और column reduction, echelon form, congruence और similarity; matrix की rank; inverse; linear system of equations का हल।
eigenvalue और eigenvector; characteristic polynomial; Cayley-Hamilton theorem; symmetric, skew-symmetric, Hermitian, skew-Hermitian, orthogonal और unitary matrix और उनके eigenvalue।

2025 में basis-विस्तार, linear transformation की rank-nullity, तीन मानों से T ज्ञात करना, echelon form, eigenvalue और quotient space की dimension पूछी गई। 2024 में subspace का basis और उसका विस्तार, range और null space, inverse operator, M_2×2 पर linear mapping का matrix, और A⁻¹⁵ के eigenvalue आए।

2. vector space, basis और dimension

2.1 परिभाषाएँ

vector space: field F (ℝ या ℂ) पर set V, जिस पर योग (+) और scalar multiplication (·) परिभाषित हों, और जो इन axioms को संतुष्ट करे: (V, +) एक abelian group; a(u + v) = au + av; (a + b)v = av + bv; (ab)v = a(bv); 1·v = v।
subspace की कसौटी: V का non-empty subset W subspace है, यदि और केवल यदि सभी u, v ∈ W और a, b ∈ F के लिए au + bv ∈ W।
- दो subspaces का intersection (U ∩ W) सदैव subspace है; पर संघ (U ∪ W) तभी, जब एक दूसरे में निहित हो।
linear combination और span: L(S) = S के vectors के सभी finite linear संयोजनों का set; यह S को समाहित करने वाली सबसे छोटी subspace है।
linear independence: {v₁, …, v_n} linearly independent है यदि a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 से सभी a_i = 0 निकले।
- ℝⁿ में n vector स्वतंत्र हैं ⇔ उनसे बने matrix का determinant ≠ 0।
- शून्य vector वाला कोई भी set निर्भर होता है।
basis: linearly independent set जो V को विस्तृत करे। dimension: किसी भी basis में vectors की संख्या (सभी आधारों में समान)।

2.2 महत्वपूर्ण theorem

विस्तार theorem (Extension Theorem): finite-dimensional space का हर linearly independent subset किसी basis तक extended किया जा सकता है।
n-dimensional space में n से अधिक vector सदैव निर्भर होते हैं; और n स्वतंत्र vector स्वतः basis होते हैं।
योग का सूत्र:

dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W)

quotient space: V/W = {v + W : v ∈ V}, जिसमें (u + W) + (v + W) = (u + v) + W।

dim(V/W) = dim V − dim W

basis-विस्तार की व्यावहारिक विधि

दिए गए vectors को rows में रखकर echelon form में लाएँ; non-zero rows span का basis देती हैं।
जिन columns में pivot नहीं है, उनके मानक vector e_j जोड़ें; इससे पूरा basis बन जाता है।

3. linear transformation

परिभाषा: T : V → W linear है यदि T(au + bv) = aT(u) + bT(v)। परिणाम: T(0) = 0।
kernel (Kernel / Null space): N(T) = {v : T(v) = 0}; यह V की subspace है। dim N(T) = nullity।
range: R(T) = {T(v) : v ∈ V}; यह W की subspace है। dim R(T) = rank।
यदि {v₁, …, v_n} V का basis है, तो R(T) = L{T(v₁), …, T(v_n)}।

rank-nullity theorem: rank(T) + nullity(T) = dim V

one-one ⇔ N(T) = {0}। यदि dim V = dim W (finite), तो T one-one ⇔ onto ⇔ invertible।
basis पर मान से T निर्धारित: किसी basis के vectors पर T का मान ज्ञात हो तो T पूरी तरह निर्धारित है। सामान्य vector को उस basis के linear combination में लिखकर T ज्ञात करें।
linear transformation का matrix: basis B = {v_j} और B′ = {w_i} के सापेक्ष, T(v_j) = Σ a_ij w_i; तब [T] का j-वाँ column (a_1j, …, a_mj) है।
basis-परिवर्तन: यदि P संक्रमण matrix है, तो नए basis में matrix P⁻¹AP होता है। ऐसे matrix समरूप (similar) कहलाते हैं; उनके determinant, trace, rank और eigenvalue समान होते हैं।

4. matrix: reduction, rank और linear equation

initial row operations: (i) दो rows का विनिमय R_i ↔ R_j; (ii) row को non-zero scalar से गुणा R_i → kR_i; (iii) R_i → R_i + kR_j। इनसे rank नहीं बदलती।
echelon form (Row Echelon Form): (i) शून्य rows सबसे नीचे; (ii) हर non-zero row का पहला non-zero element (pivot) पिछली row के pivot से दाईं ओर। अपचित echelon form: हर pivot 1 हो और उसके column के शेष element 0।
rank: echelon form में non-zero rows की संख्या = linearly independent rows (या columns) की maximum संख्या = सबसे बड़े non-zero उप-determinant का क्रम।
congruence: B = P^TAP (P invertible); quadratic रूपों में उपयोगी।
linear equation AX = B (n अज्ञात):
- संगत (consistent) ⇔ rank(A) = rank[A | B]।
- यदि rank = n, तो unique हल; यदि rank = r < n, तो अनंत हल, जिनमें n − r स्वतंत्र variable (parameter) होते हैं।
- homogeneous system AX = 0 का हल-space एक subspace है, जिसकी dimension n − rank(A)।
inverse: A⁻¹ = adj(A)/|A| (|A| ≠ 0); या [A | I] को row-संक्रियाओं से [I | A⁻¹] में बदलें (Gauss-Jordan)।

5. eigenvalue, Cayley-Hamilton और diagonalisation

परिभाषा: AX = λX (X ≠ 0); λ eigenvalue, X eigenvector। characteristic equation: |A − λI| = 0।
गुणधर्म:
- Σλ_i = trace(A); Πλ_i = |A|।
- A^k के eigenvalue λ^k; A⁻¹ के 1/λ (eigenvector वही)। अतः A^−k के eigenvalue λ^−k।
- A और A^T के eigenvalue समान। triangular matrix के eigenvalue उसके diagonal element।
- भिन्न eigenvalues के eigenvector linearly independent होते हैं।
Cayley-Hamilton theorem: हर वर्ग matrix अपने characteristic equation को संतुष्ट करता है। उपयोग: A⁻¹ और A की उच्च powers ज्ञात करना।
minimal polynomial: सबसे कम degree का एकघाती (monic) polynomial m(x) जिसके लिए m(A) = 0; यह characteristic polynomial को विभाजित करता है और उसके सभी अपरिवर्तनीय factor रखता है।
diagonalisation: n × n matrix A diagonalisable है ⇔ उसके n linearly independent eigenvector हैं ⇔ हर eigenvalue की algebraic multiplicity = geometric multiplicity ⇔ minimal polynomial के roots भिन्न हैं। तब P⁻¹AP = D, जहाँ P के column eigenvector हैं।
real symmetric matrix सदैव orthogonal रूप से diagonalisable होता है: P^TAP = D।

5.1 विशेष matrix और उनके eigenvalue

matrix	परिभाषा	eigenvalue
symmetric	A^T = A	real
skew-symmetric	A^T = −A	शुद्ध imaginary या शून्य
Hermitian	A* = A (A* = Ā^T)	real
skew-Hermitian	A* = −A	शुद्ध imaginary या शून्य
orthogonal	A^TA = I	\|λ\| = 1; \|A\| = ±1
unitary	A*A = I	\|λ\| = 1

प्रमाण का मूल विचार (Hermitian): AX = λX ⇒ X*AX = λX*X। दोनों ओर का conjugate परिवर्त लेने पर X*A*X = λ̄X*X, और A* = A होने से λ = λ̄, यानी λ real।

6. Master Formula Table

विषय	सूत्र / परिणाम	कब प्रयोग करें
subspace-test	au + bv ∈ W	"दिखाइए कि W subspace है"
योग-सूत्र	dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W)	दो subspaces के प्रश्न
quotient space	dim(V/W) = dim V − dim W	P_n/P_m जैसे प्रश्न
polynomial space	dim P_n = n + 1; dim M_m×n = mn	dimension गणना
rank-nullity	rank T + nullity T = dim V	kernel और range साथ में
व्युत्क्रमणीयता	T invertible ⇔ \|[T]\| ≠ 0 ⇔ N(T) = {0}	"क्या T invertible है?"
similarity	B = P⁻¹AP	basis-परिवर्तन, diagonalisation
consistency	rank A = rank[A\|B]	linear equation
inverse	A⁻¹ = adj A / \|A\|	2×2, 3×3
2×2 inverse	[[a, b], [c, d]]⁻¹ = (1/(ad − bc))·[[d, −b], [−c, a]]	त्वरित गणना
आइगेन-योग और product	Σλ = trace A; Πλ = \|A\|	उत्तर की जाँच
3×3 characteristic polynomial	λ³ − (tr A)λ² + (A के मुख्य 2×2 उप-determinants का योग)λ − \|A\| = 0	तेज़ गणना
degree और inverse	A^k → λ^k; A⁻¹ → 1/λ	A⁻¹⁵ जैसे प्रश्न
Cayley-Hamilton	p(A) = 0; A⁻¹ को A की powers में	inverse, Aⁿ
diagonalisation	P⁻¹AP = D; Aⁿ = PDⁿP⁻¹	उच्च powers

7. चार्ट: rank-nullity theorem

kernel N(T) के सभी vector W के शून्य vector पर जाते हैं; शेष V का "आकार" range R(T) में दिखता है। इसीलिए dim N(T) + dim R(T) = dim V।

8. Mind Map

linear algebra

vector space

subspace, span
basis, dimension, quotient

linear transformation

kernel, range
rank-nullity, matrix

matrix

echelon form, rank
AX = B, inverse

आइगेन

|A − λI| = 0
Cayley-Hamilton, diagonalisation

विशेष matrix

symmetric, Hermitian
orthogonal, unitary

9. महत्वपूर्ण One-liners

ℝⁿ में n vector basis हैं ⇔ उनका determinant ≠ 0।
हर linearly independent set basis तक extended किया जा सकता है।
dim P_n = n + 1; dim M_2×2 = 4।
T one-one ⇔ N(T) = {0}।
समरूप matrices के eigenvalue, determinant और trace समान होते हैं।
Hermitian matrix के eigenvalue real; unitary matrix के eigenvalues का modulus 1।
भिन्न eigenvalues के eigenvector linearly independent।
A⁻¹ के eigenvalue 1/λ (eigenvector वही)।
initial operations rank नहीं बदलतीं।
real symmetric matrix सदैव orthogonal रूप से diagonalisable।

10. टिप्स एवं ट्रिक्स

गणना की तरकीबें

eigenvalue निकालने के बाद Σλ = trace और Πλ = |A| से तुरंत जाँच करें।
3×3 characteristic polynomial के लिए सूत्र λ³ − (tr)λ² + (मुख्य उप-determinants का योग)λ − |A| determinant-विस्तार से तेज़ है।
eigenvector निकालने के बाद AX = λX से एक बार गुणा करके जाँचें; अंक कटने का सबसे आम कारण यही है।
"T ज्ञात कीजिए" वाले प्रश्नों में अंत में दिए गए तीनों मानों पर T की जाँच अवश्य लिखें।

याद रखने की तरकीब

matrix के column = basis-vectors के image: "T(v_j) का coordinates, j-वाँ column"। row में लिखना सबसे आम भूल है।

सामान्य भूल

algebraic multiplicity 2 वाले eigenvalue के लिए केवल एक eigenvector मिले, तो matrix diagonalisable नहीं है। diagonalisation से पहले geometric multiplicity अवश्य जाँचें।

11. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper I · 1(a) · 10 अंक

क्या set {(0, 0, 0, 3), (1, 1, 0, 0), (0, 1, −1, 0)} को vector space ℝ⁴ का basis बनाने के लिए extended किया जा सकता है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

हल

independence: a(0,0,0,3) + b(1,1,0,0) + c(0,1,−1,0) = 0 से: पहला coordinates b = 0; दूसरा b + c = 0, अतः c = 0; चौथा 3a = 0, अतः a = 0। set linearly independent है।

विस्तार: विस्तार theorem से हर स्वतंत्र set basis तक बढ़ाया जा सकता है। e₁ = (1, 0, 0, 0) जोड़ें। चारों vectors के matrix का determinant:

det[(0,0,0,3); (1,1,0,0); (0,1,−1,0); (1,0,0,0)] = 3 ≠ 0

(पहली row से विस्तार: −3 × det[(1,1,0); (0,1,−1); (1,0,0)] = −3 × (−1) = 3)। अतः {(0,0,0,3), (1,1,0,0), (0,1,−1,0), (1,0,0,0)} ℝ⁴ का basis है। उत्तर: हाँ।

Q2UPSC 2025 · Paper I · 1(b) · 10 अंक

linear transformation T : ℝ⁴ → ℝ³, T(x, y, z, w) = (x − w, y + z, z − w) का range, rank, kernel और nullity ज्ञात कीजिए।

हल

मानक matrix: [T] = [(1, 0, 0, −1); (0, 1, 1, 0); (0, 0, 1, −1)]। यह पहले से echelon form में है, जिसमें column 1, 2, 3 में pivot हैं। अतः rank = 3।

range: R(T) ⊆ ℝ³ और dim R(T) = 3, अतः R(T) = ℝ³ (T onto है)।

kernel: x − w = 0, y + z = 0, z − w = 0 से x = w, z = w, y = −w। अतः N(T) = {w(1, −1, 1, 1)} = L{(1, −1, 1, 1)}, nullity = 1।

जाँच: rank + nullity = 3 + 1 = 4 = dim ℝ⁴।

Q3UPSC 2024 · Paper I · 1(a) · 10 अंक

मान लीजिए H, ℝ⁴ की subspace है जो v₁ = (1, −2, 5, −3), v₂ = (2, 3, 1, −4), v₃ = (3, 8, −3, −5) द्वारा जनित है। H का basis और dimension ज्ञात कीजिए तथा इस basis को ℝ⁴ के basis तक extended कीजिए।

हल

row-reduction: R₂ − 2R₁ = (0, 7, −9, 2); R₃ − 3R₁ = (0, 14, −18, 4) = 2(0, 7, −9, 2)। अतः R₃ → R₃ − 2R₂ = 0।

basis: {(1, −2, 5, −3), (0, 7, −9, 2)} (या {v₁, v₂}); dim H = 2। ध्यान दें v₃ = −v₁ + 2v₂।

विस्तार: pivot column 1 और 2 में हैं; column 3 और 4 के लिए e₃ = (0, 0, 1, 0), e₄ = (0, 0, 0, 1) जोड़ें। matrix [(1,−2,5,−3); (0,7,−9,2); (0,0,1,0); (0,0,0,1)] उपरि-triangular है, determinant 7 ≠ 0। अतः {v₁, v₂, e₃, e₄} ℝ⁴ का basis है।

Q4UPSC 2024 · Paper I · 1(b) · 10 अंक

मान लीजिए T : ℝ³ → ℝ³ linear operator है और B = {v₁, v₂, v₃} ℝ³ का basis है, जहाँ Tv₁ = (1, 1, 0), Tv₂ = (1, 0, −1), Tv₃ = (2, 1, −1)। T के range और null space का basis ज्ञात कीजिए।

हल

range: R(T) = L{Tv₁, Tv₂, Tv₃}। देखें Tv₃ = Tv₁ + Tv₂, और Tv₁, Tv₂ स्वतंत्र (एक दूसरे के multiple नहीं)। अतः basis {(1, 1, 0), (1, 0, −1)}, rank 2।

null space: T(av₁ + bv₂ + cv₃) = (a + c)Tv₁ + (b + c)Tv₂ = 0 ⇒ a = −c, b = −c। c = −1 लेने पर v₁ + v₂ − v₃। basis {v₁ + v₂ − v₃}, nullity 1।

जाँच: 2 + 1 = 3।

Q5UPSC 2025 · Paper I · 2(a)

मान लीजिए T : ℝ³ → ℝ² ऐसा linear transformation है कि T(1, 1, −1) = (1, 0), T(4, 1, 1) = (0, 1) और T(1, −1, 2) = (1, 1)। T ज्ञात कीजिए।

हल

(x, y, z) = a(1, 1, −1) + b(4, 1, 1) + c(1, −1, 2) लिखें:

a + 4b + c = x; a + b − c = y; −a + b + 2c = z

हल करने पर: a = 3x − 7y − 5z, b = −x + 3y + 2z, c = 2x − 5y − 3z (जाँच: (1,1,−1) पर a = 1, b = c = 0)।

T(x, y, z) = a(1, 0) + b(0, 1) + c(1, 1) = (a + c, b + c):

T(x, y, z) = (5x − 12y − 8z, x − 2y − z)

जाँच: T(4, 1, 1) = (20 − 12 − 8, 4 − 2 − 1) = (0, 1) ✓; T(1, −1, 2) = (5 + 12 − 16, 1 + 2 − 2) = (1, 1) ✓।

Q6UPSC 2025 · Paper I · 3(a)

matrix A = [(2, −2, 2, 1); (−3, 6, 0, −1); (1, −7, 10, 2)] को echelon form में समानीत कीजिए।

हल

R₁ ↔ R₃: [(1, −7, 10, 2); (−3, 6, 0, −1); (2, −2, 2, 1)]

R₂ → R₂ + 3R₁: (0, −15, 30, 5); R₃ → R₃ − 2R₁: (0, 12, −18, −3)

R₂ → −R₂/5: (0, 3, −6, −1); R₃ → R₃/3: (0, 4, −6, −1)

R₃ → 3R₃ − 4R₂: (0, 0, −18 + 24, −3 + 4) = (0, 0, 6, 1)

echelon form: [(1, −7, 10, 2); (0, 3, −6, −1); (0, 0, 6, 1)], rank A = 3

Q7UPSC 2025 · Paper I · 4(c)

(i) matrix A = [(1, 2, 0); (2, 1, −6); (2, −2, 3)] के eigenvalue और संगत eigenvector ज्ञात कीजिए। (ii) P_n, ℝ पर degree ≤ n वाले सभी polynomials की vector space है। सत्यापित कीजिए कि dim(P₄/P₂) = dim P₄ − dim P₂।

हल

(i) |A − λI| = (1 − λ)[(1 − λ)(3 − λ) − 12] − 2[2(3 − λ) + 12] = −λ³ + 5λ² + 9λ − 45।

λ³ − 5λ² − 9λ + 45 = (λ − 5)(λ² − 9) = 0 ⇒ λ = 5, 3, −3

(जाँच: योग 5 = trace; product −45 = |A|।)

λ = 5: −4x + 2y = 0, 2x − 2y − 2z = 0 ⇒ X = (1, 2, −1)।
λ = 3: −2x + 2y = 0, 2x − 2y − 6z = 0 ⇒ X = (1, 1, 0)।
λ = −3: 4x + 2y = 0, 2x − 2y + 6z = 0 ⇒ X = (1, −2, −1)।

(जाँच: A(1, −2, −1) = (−3, 6, 3) = −3(1, −2, −1) ✓)

(ii) dim P₄ = 5 (basis 1, x, x², x³, x⁴) और dim P₂ = 3। दावा: {x³ + P₂, x⁴ + P₂}, P₄/P₂ का basis है।

span: p = a₀ + … + a₄x⁴ के लिए p + P₂ = a₃(x³ + P₂) + a₄(x⁴ + P₂)।
independence: a₃x³ + a₄x⁴ ∈ P₂ तभी जब a₃ = a₄ = 0।

अतः dim(P₄/P₂) = 2 = 5 − 3 ✓।

Q8UPSC 2024 · Paper I · 2(a)

ℝ³ पर linear operator T(x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z)। क्या T invertible है? यदि हाँ, तो T⁻¹ ज्ञात कीजिए।

हल

[T] = [(2, 0, 0); (4, −1, 0); (2, 3, −1)] निम्न-triangular है, |T| = 2 × (−1) × (−1) = 2 ≠ 0। अतः T invertible (N(T) = {0})।

T(x, y, z) = (a, b, c) रखें: a = 2x ⇒ x = a/2; b = 4x − y ⇒ y = 2a − b; c = 2x + 3y − z ⇒ z = a + 3(2a − b) − c = 7a − 3b − c।

T⁻¹(a, b, c) = (a/2, 2a − b, 7a − 3b − c)

जाँच: T(a/2, 2a − b, 7a − 3b − c) = (a, b, a + 6a − 3b − 7a + 3b + c) = (a, b, c) ✓।

Q9UPSC 2024 · Paper I · 3(a)

V = M_2×2(ℝ) पर φ(v) = Mv, जहाँ M = [(1, 2); (3, −1)]। मानक basis के सापेक्ष φ का matrix ज्ञात कीजिए, φ की rank ज्ञात कीजिए। क्या φ invertible है?

हल

मानक basis E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂:

ME₁₁ = [(1, 0); (3, 0)] = E₁₁ + 3E₂₁ → column (1, 0, 3, 0)
ME₁₂ = [(0, 1); (0, 3)] = E₁₂ + 3E₂₂ → (0, 1, 0, 3)
ME₂₁ = [(2, 0); (−1, 0)] → (2, 0, −1, 0)
ME₂₂ = [(0, 2); (0, −1)] → (0, 2, 0, −1)

[φ] = [(1, 0, 2, 0); (0, 1, 0, 2); (3, 0, −1, 0); (0, 3, 0, −1)]

determinant = (det M)² = (−7)² = 49 ≠ 0 (row-column पुनर्व्यवस्था से यह M के दो खंडों में टूटता है)। अतः rank 4, φ invertible।

अतिरिक्त: M² = 7I, इसलिए M⁻¹ = M/7 और φ⁻¹(v) = (1/7)Mv।

Q10UPSC 2024 · Paper I · 4(a)

A = [(3, 2, 4); (2, 0, 2); (4, 2, 3)] के eigenvalue और eigenvector ज्ञात कीजिए। अतः A⁻¹⁵ = (A⁻¹)¹⁵ के eigenvalue और eigenvector ज्ञात कीजिए।

हल

trace = 6; मुख्य 2×2 उप-determinants का योग = (0 − 4) + (9 − 16) + (0 − 4) = −15; |A| = 3(−4) − 2(6 − 8) + 4(4) = 8।

λ³ − 6λ² − 15λ − 8 = (λ − 8)(λ + 1)² = 0 ⇒ λ = 8, −1, −1

λ = 8: x − 4y + z = 0, −5x + 2y + 4z = 0 ⇒ X = (2, 1, 2)।
λ = −1: A + I की हर row 2x + y + 2z = 0 का multiple; दो स्वतंत्र हल X = (1, 0, −1), (1, −2, 0)। (geometric multiplicity 2; A symmetric है, अतः diagonalisable।)

A⁻¹⁵: eigenvalue λ⁻¹⁵: 8⁻¹⁵ = 2⁻⁴⁵ और (−1)⁻¹⁵ = −1 (दो बार); eigenvector वही: (2, 1, 2) तथा L{(1, 0, −1), (1, −2, 0)}।

Q11अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

Cayley-Hamilton theorem सत्यापित कीजिए और A = [(1, 2); (2, 1)] का inverse ज्ञात कीजिए। A⁵ को A और I के linear combination में व्यक्त कीजिए।

हल

characteristic equation: λ² − 2λ − 3 = 0। A² = [(5, 4); (4, 5)]; A² − 2A − 3I = [(5 − 2 − 3, 4 − 4); (4 − 4, 5 − 2 − 3)] = 0 ✓।

inverse: A(A − 2I) = 3I ⇒ A⁻¹ = (A − 2I)/3 = (1/3)[(−1, 2); (2, −1)]।

A⁵: A² = 2A + 3I; A³ = 2A² + 3A = 7A + 6I; A⁴ = 7A² + 6A = 20A + 21I; A⁵ = 20A² + 21A = 61A + 60I।

(जाँच eigenvalue 3 से: 3⁵ = 243 = 61 × 3 + 60 ✓।)

12. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

space: subspace-कसौटी; independence के लिए determinant; विस्तार theorem; dim(V/W) = dim V − dim W।
transformation: basis पर मान से T; kernel और range; rank-nullity; matrix के column = image।
matrix: echelon form; rank; consistency; inverse।
आइगेन: trace और determinant से जाँच; degree और inverse के eigenvalue; Cayley-Hamilton; diagonalisation की शर्त; विशेष matrices के eigenvalue।

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