UPSC Mains · Mathematics · Paper I · अध्याय 2

कलन (Calculus)

Calculus

सीमा, सांतत्य, माध्य मान प्रमेय, टेलर श्रेणी, आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ, लैग्रेंज गुणक, द्वि-त्रि समाकल, क्षेत्रफल और आयतन।

Paper I 15 मिनट

1. अध्याय एक नज़र में

calculus Paper I का दूसरा खंड है और लगभग हर वर्ष 40-60 अंक देता है। सिलेबस:

  • एक variable के function: real numbers; limit, continuity, differentiability; mean मान theorem (Rolle, Lagrange, Cauchy); शेष सहित Taylor theorem; indeterminate रूप; maximum और minimum; asymptote; curve tracing।
  • दो या तीन variables के function: limit, continuity, partial derivative; maximum-minimum; Lagrange multiplier विधि; Jacobian।
  • integration: निश्चित integral की Riemann परिभाषा; अनिश्चित integral; अनंत और अनुचित (improper) integral; द्वि और त्रि integral (केवल मूल्यांकन तकनीक); area, surface और volume।

2025 में maximum volume वाला डिब्बा, functional equation f(x + y) = f(x)f(y), mean मान theorem से inequality, द्वि integral, homogeneous function और fxy ≠ fyx पूछे गए। 2024 में discontinuity, Taylor series, Jacobian और functional relation, cone में maximum cylinder और cardioid का area आए।

2. limit, continuity और differentiability

  • limit (ε-δ परिभाषा): limx→a f(x) = L यदि हर ε > 0 के लिए δ > 0 ऐसा है कि 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε।
  • continuity: f, x = a पर continuous है ⇔ बाएँ limit = दाएँ limit = f(a)।
  • discontinuity के प्रकार: removable (limit है पर f(a) से भिन्न), उछाल (jump: बाएँ ≠ दाएँ), अनंत, और दोलनी (sin(1/x) प्रकार)।
  • differentiability: f′(a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)]/h। differentiability ⇒ continuity, पर विपरीत सत्य नहीं (|x| शून्य पर)।
  • महत्वपूर्ण सीमाएँ: lim e−1/x (x → 0+) = 0, (x → 0−) = ∞; lim (sin x)/x = 1; lim (1 + 1/n)n = e।
  • indeterminate रूप (L'Hôpital): 0/0 या ∞/∞ में lim f/g = lim f′/g′। 0·∞, ∞ − ∞ को भिन्न में बदलें; 1∞, 0⁰, ∞⁰ के लिए लघुगणक लें।

3. mean मान theorem और Taylor theorem

  • Rolle theorem: f, [a, b] पर continuous, (a, b) में differentiable, और f(a) = f(b) ⇒ कोई c ∈ (a, b) जिसके लिए f′(c) = 0।
  • Lagrange mean मान theorem (LMVT): f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a), किसी c ∈ (a, b) के लिए। geometric अर्थ: किसी बिंदु पर tangent chord के parallel।
  • Cauchy mean मान theorem: [f(b) − f(a)]/[g(b) − g(a)] = f′(c)/g′(c)।
  • असमिकाओं में उपयोग: यदि f′ monotonic है, तो f′(a) और f′(b) के बीच f′(c) रखकर दोनों सीमाएँ मिलती हैं।
  • शेष सहित Taylor theorem:
f(a + h) = f(a) + hf′(a) + (h²/2!)f″(a) + … + (hn−1/(n − 1)!)f(n−1)(a) + Rn
Lagrange शेष: Rn = (hn/n!)f(n)(a + θh), 0 < θ < 1; Cauchy शेष: Rn = (hn(1 − θ)n−1/(n − 1)!)f(n)(a + θh)
  • a = 0 पर यह Maclaurin series है।
  • मानक प्रसार: ln(1 + t) = t − t²/2 + t³/3 − …, (−1 < t ≤ 1); ex = Σ xn/n!; sin x = x − x³/3! + …।

4. maximum-minimum, asymptote और curve tracing

  • एक variable: f′(c) = 0 और f″(c) < 0 ⇒ maximum; f″(c) > 0 ⇒ minimum। closed interval पर अंत-बिंदुओं की भी जाँच करें।
  • asymptote: vertical (जहाँ f → ∞), horizontal (limx→∞ f), oblique y = mx + c जहाँ m = lim f(x)/x, c = lim [f(x) − mx]।
  • curve tracing के चरण: symmetry, origin, axes से intersection, origin पर tangents (निम्नतम degree के term), asymptote, region जहाँ curve नहीं है, monotonicity और concavity।

5. अनेक variables के function

  • partial derivative: fx = ∂f/∂x; mixed derivative fxy = ∂/∂y(∂f/∂x)।
  • Schwarz (या यंग) theorem: यदि fxy और fyx किसी बिंदु के neighbourhood में continuous हैं, तो fxy = fyx। शर्त न हो तो वे भिन्न हो सकते हैं (मानक उदाहरण xy(x² − y²)/(x² + y²))।
  • homogeneous function और Euler theorem: f, n degree का homogeneous है (f(tx, ty) = tnf):
x fx + y fy = n f; x² fxx + 2xy fxy + y² fyy = n(n − 1) f
  • शृंखला नियम: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) ⇒ dz/dt = fxx′ + fyy′।
  • Jacobian: J = ∂(u, v)/∂(x, y) = uxvy − uyvx। functional निर्भरता: u और v functional रूप से संबंधित हैं ⇔ J ≡ 0। J1·J2 = 1 (inverse transformation)।
  • दो variables में maximum-minimum: fx = fy = 0 पर r = fxx, s = fxy, t = fyy:
    • rt − s² > 0 और r < 0 ⇒ maximum; rt − s² > 0 और r > 0 ⇒ minimum।
    • rt − s² < 0 ⇒ saddle point; rt − s² = 0 ⇒ आगे test।
  • Lagrange multiplier विधि: f(x, y, z) का extremum मान, constraint φ(x, y, z) = 0 के साथ: F = f + λφ बनाएँ और Fx = Fy = Fz = 0, φ = 0 हल करें।

6. integration

  • Riemann integral: विभाजन P पर ऊपरी योग U(P, f) = ΣMiΔxi और निचला योग L(P, f) = ΣmiΔxi; f integrable ⇔ ऊपरी और निचला integral समान (विस्तार अध्याय 7 में)।
  • improper integral: अनंत limit (∫a∞) या अपरिबद्ध function। तुलना test; ∫1∞ dx/xp convergent ⇔ p > 1; ∫01 dx/xp convergent ⇔ p < 1।
  • beta और gamma function:
Γ(n) = ∫0∞ e−xxn−1dx; Γ(n + 1) = nΓ(n); Γ(1/2) = √π; B(m, n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n)
∫0π/2 sinpθ cosqθ dθ = Γ((p + 1)/2)Γ((q + 1)/2) / [2Γ((p + q + 2)/2)]
  • द्वि integral: सीमाओं का क्रम-परिवर्तन; polar coordinates dx dy = r dr dθ।
  • त्रि integral: cylindrical dV = r dr dθ dz; spherical dV = r² sinθ dr dθ dφ।
  • अनुप्रयोग: area A = ∬dx dy = ∬r dr dθ; volume V = ∭dV; परिक्रमण-surface S = 2π∫y ds।

7. Master Formula Table

विषयसूत्र / परिणामप्रयोग
continuityLHL = RHL = f(a)खंडशः function
derivativef′(a) = lim [f(a + h) − f(a)]/hपरिभाषा से derivative
Rollef(a) = f(b) ⇒ f′(c) = 0roots का existence
LMVTf(b) − f(a) = (b − a)f′(c)असमिकाएँ
Cauchy MVT[f(b) − f(a)]/[g(b) − g(a)] = f′(c)/g′(c)दो functions की तुलना
Taylor (Lagrange शेष)Rn = hnf(n)(a + θh)/n!सन्निकटन, error
ln x का प्रसार(x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3 − …ln(1.1) जैसे मान
Euler (degree n)xfx + yfy = nfhomogeneous function
Euler (द्वितीय)x²fxx + 2xyfxy + y²fyy = n(n − 1)fद्वितीय क्रम
JacobianJ = uxvy − uyvx; J ≡ 0 ⇔ functional relationu = φ(v) खोजना
दो variable extremumrt − s² > 0 (r < 0 maximum, r > 0 minimum)stationary point classification
Lagrange multiplier∇f = −λ∇φ, φ = 0प्रतिबंधित extremum
polar areaA = ½∫(r2² − r1²) dθकार्डियोइड आदि
gamma, betaΓ(1/2) = √π; B(m, n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n)particular integral
cone में cylinderVmax = (4/27)πh³tan²α, ऊँचाई h/3optimum volume

8. चार्ट: Lagrange mean मान theorem का geometric अर्थ

A(a, f(a)) B(b, f(b)) c chord: slope = [f(b) − f(a)]/(b − a) tangent: slope f′(c)
LMVT: A और B के बीच curve पर कम से कम एक बिंदु c ऐसा है जहाँ tangent (टूटी रेखा) chord AB के parallel है। f(a) = f(b) होने पर यही Rolle theorem है।

9. Mind Map

calculus
limit-continuity
  • ε-δ, LHL/RHL
  • L'Hôpital
mean मान
  • Rolle, LMVT, Cauchy
  • Taylor, शेष
अनेक variable
  • Euler, Jacobian
  • rt − s², Lagrange
integral
  • अनुचित, beta-gamma
  • द्वि-त्रि, polar
अनुप्रयोग
  • optimum volume
  • area, volume

10. महत्वपूर्ण One-liners

  • differentiability ⇒ continuity, पर विपरीत सत्य नहीं (|x|)।
  • f(x + y) = f(x)f(y), f(0) ≠ 0 ⇒ f(0) = 1।
  • LMVT का geometric अर्थ: tangent chord के parallel।
  • Taylor theorem का Lagrange शेष: hnf(n)(a + θh)/n!।
  • fxy = fyx के लिए पर्याप्त शर्त: mixed derivatives का continuity (Schwarz)।
  • u, v functional रूप से संबंधित ⇔ J ≡ 0।
  • rt − s² < 0 ⇒ saddle point।
  • Γ(1/2) = √π; Γ(n + 1) = n! (धन integer n)।
  • ∫1∞ dx/xp convergent ⇔ p > 1।
  • polar coordinates में dx dy = r dr dθ।

11. टिप्स एवं ट्रिक्स

गणना की तरकीबें
  • optimum (optimisation) प्रश्नों में variable का मान्य range (जैसे 0 < x < 1) पहले लिखें; दो roots में से एक प्रायः अस्वीकार्य होता है।
  • fxy(0, 0) के लिए पहले fx(0, y) को परिभाषा से निकालें, फिर उसका y पर derivative लें।
  • दो curves के बीच area में पहले intersection बिंदु और "कौन ऊपर है" तय करें।
  • polar area में θ की सीमाएँ r1 = r2 से निकालें।
याद रखने की तरकीब

दो variables में extremum: "rt − s² धन, r negative तो शिखर"। Euler का द्वितीय सूत्र: "n(n − 1)", इसलिए degree 0 और 1 के लिए यह शून्य हो जाता है।

सामान्य भूल

fxy का अर्थ पुस्तकों में भिन्न है (कुछ में पहले y, फिर x)। उत्तर में अपनी परिभाषा स्पष्ट लिखें: fxy = ∂/∂y(∂f/∂x)।

12. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper I · 1(c) · 10 अंक

6 मीटर लंबी और 2 मीटर चौड़ी आयताकार धातु की चादर के चारों कोनों से बराबर वर्ग काटकर, किनारों को मोड़कर खुला डिब्बा बनाया जाता है। डिब्बे के maximum volume के लिए उसकी लगभग ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल

वर्ग की भुजा x (= ऊँचाई), 0 < x < 1:

V = x(6 − 2x)(2 − 2x) = 4(x³ − 4x² + 3x)

dV/dx = 4(3x² − 8x + 3) = 0 ⇒ x = (4 ± √7)/3। valid root x = (4 − √7)/3 ≈ 0.451 (दूसरा मूल ≈ 2.215 > 1)।

d²V/dx² = 4(6x − 8) < 0 (x ≈ 0.451 पर), अतः maximum। ऊँचाई ≈ 0.45 मीटर; maximum volume ≈ 2.52 घन मीटर।

Q2UPSC 2025 · Paper I · 1(d) · 10 अंक

सभी real x, y के लिए f(x + y) = f(x)f(y), f(x) ≠ 0 और f′(0) = 2। दिखाइए कि f′(x) = 2f(x)। अतः f(x) ज्ञात कीजिए।

हल

x = y = 0: f(0) = f(0)², f(0) ≠ 0 ⇒ f(0) = 1।

f′(x) = limh→0 [f(x)f(h) − f(x)]/h = f(x)·lim [f(h) − f(0)]/h = f(x)f′(0) = 2f(x)

अतः f′/f = 2 ⇒ ln f = 2x + C; f(0) = 1 ⇒ C = 0। f(x) = e2x।

Q3UPSC 2024 · Paper I · 1(c) · 10 अंक

सभी x के लिए function f(x) = 1/(1 − e−1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0 के continuity की चर्चा कीजिए।

हल

x ≠ 0 पर e−1/x ≠ 1, अतः हर ≠ 0 और f continuous functions का quotient होने से continuous है।

  • x → 0+: −1/x → −∞, e−1/x → 0, f → 1।
  • x → 0−: −1/x → +∞, e−1/x → ∞, f → 0।

LHL = 0 = f(0) पर RHL = 1 ≠ f(0)। अतः f, x = 0 पर बाएँ से continuous, पर continuous नहीं (उछाल discontinuity, jump = 1); शेष सभी बिंदुओं पर continuous।

Q4UPSC 2024 · Paper I · 1(d) · 10 अंक

Taylor theorem द्वारा ln x का (x − 1) की powers में प्रसार कीजिए और ln(1.1) का चार decimal स्थानों तक सही मान ज्ञात कीजिए।

हल

f(x) = ln x: f(1) = 0, f(n)(x) = (−1)n−1(n − 1)!/xn, अतः f(n)(1)/n! = (−1)n−1/n।

ln x = (x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3 − (x − 1)⁴/4 + … (0 < x ≤ 2)

x = 1.1: 0.1 − 0.005 + 0.000333 − 0.000025 + 0.000002 − … = 0.0953 (चौथे decimal तक; अगले term 2 × 10−6 से कम)।

Q5UPSC 2025 · Paper I · 2(b)

mean मान theorem का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि π/6 + √3/15 < sin−1(3/5) < π/6 + 1/8।

हल

f(x) = sin−1x पर [1/2, 3/5] में LMVT: [sin−1(3/5) − π/6]/(1/10) = 1/√(1 − c²), 1/2 < c < 3/5।

1/√(1 − c²) वर्धमान है, अतः 1/√(1 − 1/4) < 1/√(1 − c²) < 1/√(1 − 9/25), यानी 2/√3 < … < 5/4।

(1/10)(2/√3) < sin−1(3/5) − π/6 < (1/10)(5/4) ⇒ π/6 + √3/15 < sin−1(3/5) < π/6 + 1/8

(क्योंकि 2/(10√3) = 1/(5√3) = √3/15।)

Q6UPSC 2025 · Paper I · 3(c)

(i) ∬R y dx dy का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ R, y = x और y = 4x − x² से bounded है। (ii) यदि u = x f(y/x) + g(y/x), तो दिखाइए कि x ux + y uy = x f(y/x) और x²uxx + 2xy uxy + y²uyy = 0।

हल

(i) intersection: x = 4x − x² ⇒ x = 0, 3। 0 < x < 3 में 4x − x² ≥ x।

I = ∫03 ½[(4x − x²)² − x²] dx = ½∫03 (15x² − 8x³ + x⁴) dx = ½[5x³ − 2x⁴ + x⁵/5]03 = ½(135 − 162 + 48.6) = 54/5

(ii) u = v + w, जहाँ v = x f(y/x) degree 1 का और w = g(y/x) degree 0 का homogeneous function है। Euler theorem से:

  • x ux + y uy = 1·v + 0·w = x f(y/x)।
  • x²uxx + 2xy uxy + y²uyy = 1(1 − 1)v + 0(0 − 1)w = 0।
Q7UPSC 2025 · Paper I · 4(b)

यदि f(x, y) = xy(x² − y²)/(x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0), और f(0, 0) = 0, तो fxy(0, 0) और fyx(0, 0) ज्ञात कीजिए।

हल

परिभाषा: fxy = ∂/∂y(∂f/∂x)।

fx(0, y) = limh→0 [f(h, y) − f(0, y)]/h = lim y(h² − y²)/(h² + y²) = −y (y ≠ 0; y = 0 पर भी 0)। अतः fxy(0, 0) = d(−y)/dy = −1।

fy(x, 0) = limk→0 [f(x, k) − 0]/k = lim x(x² − k²)/(x² + k²) = x। अतः fyx(0, 0) = 1।

fxy(0, 0) ≠ fyx(0, 0), क्योंकि mixed derivative origin पर continuous नहीं हैं (Schwarz की शर्त विफल)।

Q8UPSC 2024 · Paper I · 2(b)

यदि u = (x + y)/(1 − xy) और v = tan−1x + tan−1y, तो ∂(u, v)/∂(x, y) ज्ञात कीजिए। क्या u और v functional रूप से संबंधित हैं? यदि हाँ, तो संबंध ज्ञात कीजिए।

हल

ux = [(1 − xy) + y(x + y)]/(1 − xy)² = (1 + y²)/(1 − xy)²; uy = (1 + x²)/(1 − xy)²; vx = 1/(1 + x²); vy = 1/(1 + y²)।

J = uxvy − uyvx = 1/(1 − xy)² − 1/(1 − xy)² = 0

J ≡ 0, अतः u, v functional रूप से संबंधित हैं। tan(tan−1x + tan−1y) = (x + y)/(1 − xy) से u = tan v।

Q9UPSC 2024 · Paper I · 3(b)

ऊँचाई h और semi-vertex कोण α वाले cone के अंतर्गत सबसे बड़े cylinder का volume ज्ञात कीजिए।

हल

cylinder की ऊँचाई z, radius r; vertex से (h − z) दूरी पर cone की radius r = (h − z)tanα।

V = πr²z = π tan²α (h − z)² z

dV/dz = π tan²α (h − z)(h − 3z) = 0 ⇒ z = h/3 (z = h पर V = 0)। d²V/dz² < 0 जाँचें।

Vmax = π tan²α (2h/3)² (h/3) = (4/27)πh³tan²α

यानी cone के volume (πh³tan²α/3) का 4/9 भाग।

Q10UPSC 2024 · Paper I · 4(b)

द्वि integration का प्रयोग करते हुए cardioid r = a(1 + cosθ) के अंदर और वृत्त r = a के बाहर स्थित region का area ज्ञात कीजिए।

हल

a(1 + cosθ) ≥ a ⇔ cosθ ≥ 0 ⇔ −π/2 ≤ θ ≤ π/2।

A = ∫−π/2π/2∫aa(1+cosθ) r dr dθ = (a²/2)∫−π/2π/2(2cosθ + cos²θ) dθ = (a²/2)(4 + π/2)

A = a²(8 + π)/4।

Q11UPSC 2025 · Paper II · 3(b)

सिद्ध कीजिए कि ellipsoid x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 के अंतर्गत सबसे बड़े आयताकार parallel hexahedron का volume 8abc/(3√3) है।

हल

एक vertex (x, y, z) प्रथम अष्टांश में; V = 8xyz। F = 8xyz + λ(x²/a² + y²/b² + z²/c² − 1)।

Fx = 8yz + 2λx/a² = 0, Fy = 8xz + 2λy/b² = 0, Fz = 8xy + 2λz/c² = 0।

पहले को x, दूसरे को y, तीसरे को z से गुणा कर: x²/a² = y²/b² = z²/c² (= −4xyz/λ)। constraint से प्रत्येक = 1/3।

x = a/√3, y = b/√3, z = c/√3 ⇒ Vmax = 8abc/(3√3)
Q12अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy के stationary point ज्ञात कीजिए और उनका classification कीजिए।

हल

fx = 3x² − 3y = 0, fy = 3y² − 3x = 0 ⇒ y = x², x = y² ⇒ x⁴ = x ⇒ (0, 0), (1, 1)।

r = 6x, s = −3, t = 6y।

  • (0, 0): rt − s² = −9 < 0 ⇒ saddle point।
  • (1, 1): rt − s² = 36 − 9 = 27 > 0, r = 6 > 0 ⇒ minimum, f(1, 1) = −1।

13. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें
  • एक variable: continuity (LHL, RHL); परिभाषा से derivative; Rolle, LMVT, Cauchy; Taylor और शेष; L'Hôpital; extremum मान।
  • अनेक variable: Euler; fxy ≠ fyx का उदाहरण; Jacobian और functional relation; rt − s²; Lagrange multiplier।
  • integration: improper integral; beta-gamma; द्वि-त्रि integral; polar area; optimum volume।
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