Linear Programming and Partial Differential Equations

1. अध्याय एक नज़र में

यह अध्याय Paper II के दो खंडों को जोड़ता है। दोनों में "विधि-आधारित" प्रश्न आते हैं, जो अभ्यास से पूरे अंक दिलाते हैं:

linear programming (LPP, Section A): समस्या का निर्माण; basic हल, basic feasible हल, optimal हल; graphical विधि और simplex विधि (बिग-M, द्वि-चरण); duality; transportation और assignment समस्याएँ।
आंशिक differential equation (PDE, Section B): तीन dimensions में पृष्ठों का कुल और PDE का निर्माण; प्रथम order semi-linear PDE का हल (Lagrange), Cauchy की method of characteristics; प्रथम order non-linear (Charpit); constant coefficient वाले द्वितीय order linear PDE; canonical form; कंपित तार का equation, heat equation, Laplace equation और उनके हल।

2025 में basic हलों की गणना, duality, transportation समस्या का इष्टतमीकरण, PI ज्ञात करना, आयत पर Laplace equation, पूर्ण integral, और characteristic पूछे गए। 2024 में द्वि-चरण विधि, duality से minimisation, assignment समस्या, wave equation का हल-सत्यापन, semi-plane में Laplace equation, semi-linear PDE का integral surface, और canonical form आए।

2. linear programming

2.1 basic हल

m equation, n variable (n > m), order m: अधिक से अधिक C(n, m) basic हल। n − m variable शून्य रखें (non-basic), शेष m variables के coefficient-column linearly independent हों तो हल करें।
basic feasible: सभी basic variable ≥ 0। degenerate: कोई basic variable शून्य।
fundamental theorem: यदि optimal हल है, तो कम से कम एक basic feasible हल (feasible region का vertex) optimal है।

2.2 simplex विधि

standard form: ≤ में slack, ≥ में surplus + artificial variable, = में artificial variable।
प्रवेश variable: (maximisation) सबसे negative z_j − c_j। निर्गम variable: minimum positive अनुपात (minimum ratio test)।
optimality: सभी z_j − c_j ≥ 0 (maximisation में)।
विशेष स्थितियाँ: unbounded हल (प्रवेश column में कोई धन element नहीं); वैकल्पिक optimal (किसी non-basic variable का z_j − c_j = 0); infeasible (अंत में artificial variable positive)।
बिग-M: उद्देश्य में −MA (maximisation)।
द्वि-चरण विधि: चरण I में artificial variables का योग minimum करें; minimum 0 हो तो चरण II में मूल उद्देश्य, artificial column हटाकर।

2.3 duality

primal	dual
max c^Tx, Ax ≤ b, x ≥ 0	min b^Ty, A^Ty ≥ c, y ≥ 0
i-वाँ constraint ≤ / ≥ / =	y_i ≥ 0 / ≤ 0 / unrestricted
variable x_j ≥ 0 / unrestricted	j-वाँ constraint ≥ / =

weak duality: हर feasible x, y के लिए c^Tx ≤ b^Ty। strong duality: दोनों के optimal मान समान।
primal unbounded ⇒ dual infeasible (और converse का एक भाग: dual infeasible और primal feasible ⇒ primal unbounded)।
complementary slackness: y_i(b_i − a_ix) = 0 और x_j(a_j^Ty − c_j) = 0। दो variable वाले dual को graph से हल कर इससे primal हल निकालें।

2.4 transportation और assignment

balanced: कुल आपूर्ति = कुल माँग; unbalanced में dummy row/column (लागत 0)।
initial हल: उत्तर-पश्चिम कोना, minimum लागत, वोगेल (VAM)। basic कोशिकाएँ m + n − 1 (कम हों तो अपभ्रष्टता; ε रखें)।
MODI (u-v) विधि: basic कोशिकाओं पर u_i + v_j = c_ij (एक u = 0)। non-basic पर d_ij = c_ij − (u_i + v_j)। सभी d_ij ≥ 0 ⇒ optimal; negative हो तो उस कोशिका को प्रवेश कराकर बंद loop (+, −, +, −) पर θ = (− कोशिकाओं का minimum) खिसकाएँ।
assignment (Hungarian विधि): row-reduction, column-reduction; minimum रेखाओं से सभी शून्य ढकें; रेखाएँ = n हों तो assignment; अन्यथा अनढके minimum को घटाएँ और प्रतिच्छेदों पर जोड़ें। maximisation में सबसे बड़े element से घटाएँ।

3. आंशिक differential equation: प्रथम order

निर्माण: arbitrary constants का निष्कासन (जितने constant, उतने equation) या arbitrary functions का निष्कासन।
Lagrange (semi-linear) Pp + Qq = R: auxiliary equation dx/P = dy/Q = dz/R से दो स्वतंत्र integral u = c₁, v = c₂; व्यापक हल F(u, v) = 0। गुणकों (1, 1, 1), (x, y, z) आदि से integral निकालें।
दिए गए curve से होकर integral surface: curve के equations में c₁, c₂ का संबंध निकालें। यदि दिया गया curve स्वयं एक characteristic हो, तो उससे होकर अनंत integral surface जाते हैं।
non-linear, standard form:
- f(p, q) = 0: z = ax + by + c, जहाँ f(a, b) = 0।
- Clairaut z = px + qy + f(p, q): z = ax + by + f(a, b)।
- f(z, p, q) = 0: u = x + ay रखें।
- f₁(x, p) = f₂(y, q) = a (separable)।
- z^k जैसे multiplier हों तो Z = ∫z^k/2dz जैसा substitution standard form में लाता है।
Charpit विधि (f(x, y, z, p, q) = 0):

dx/f_p = dy/f_q = dz/(pf_p + qf_q) = −dp/(f_x + pf_z) = −dq/(f_y + qf_z)

Cauchy की method of characteristics: इन्हीं equations को एक parameter t में लिखें; initial curve (x₀(s), y₀(s), z₀(s)) पर p₀, q₀ दो शर्तों से निकालें: f = 0 और strip-शर्त z₀′ = p₀x₀′ + q₀y₀′।

4. द्वितीय order PDE

constant coefficient, homogeneous: F(D, D′)z = 0; D′ के लिए m रखें: m के roots m₁, m₂ ⇒ z = f₁(y + m₁x) + f₂(y + m₂x); repeated root में x f₂(y + mx)।
PI: e^ax+by के लिए D → a, D′ → b; sin(ax + by) के लिए D² → −a², DD′ → −ab, D′² → −b²; सामान्य F के लिए:

[1/(D − mD′)]F(x, y) = ∫F(x, c − mx) dx, फिर c = y + mx

classification (Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + … = 0): B² − 4AC < 0 elliptic; = 0 parabolic; > 0 hyperbolic।
canonical form: characteristic equation A(dy)² − B dx dy + C(dx)² = 0 से ξ, η चुनें। hyperbolic का canonical form u_ξη + (निम्न order term) = 0।
मानक equation:
- wave u_tt = c²u_xx: D'Alembert हल u = f(x + ct) + g(x − ct)।
- heat u_t = k u_xx: u = Σ B_n e^{−k(nπ/L)²t} sin(nπx/L)।
- Laplace u_xx + u_yy = 0: variable-separation u = XY; आयत में sin·sinh हल।
Fourier coefficient (half-range sine series): b_n = (2/L)∫₀^Lf(x)sin(nπx/L)dx।

5. Master Formula Table

विषय	सूत्र / नियम
basic हलों की maximum संख्या	C(n, m) = n!/(m!(n − m)!)
simplex optimality (max)	सभी z_j − c_j ≥ 0
minimum अनुपात	min{b_i/a_ik : a_ik > 0}
dual	max cx, Ax ≤ b ↔ min by, A^Ty ≥ c
complementary slackness	y_i·(slack_i) = 0; x_j·(dual slack_j) = 0
transportation basic कोशिकाएँ	m + n − 1
MODI	u_i + v_j = c_ij; d_ij = c_ij − u_i − v_j ≥ 0
Lagrange	dx/P = dy/Q = dz/R; F(u, v) = 0
Charpit	dx/f_p = dy/f_q = dz/(pf_p + qf_q) = −dp/(f_x + pf_z) = −dq/(f_y + qf_z)
strip-शर्त	z₀′ = p₀x₀′ + q₀y₀′
PI (linear factor)	[1/(D − mD′)]F = ∫F(x, c − mx)dx, c = y + mx
classification	B² − 4AC: < 0 दीर्घ., = 0 परव., > 0 अतिपरव.
D'Alembert	u = f(x + ct) + g(x − ct)
semi-plane पॉइसों सूत्र	φ(x, y) = (y/π)∫f(ξ)dξ/[y² + (x − ξ)²]

6. चार्ट: द्वितीय order PDE का classification

Au_xx + Bu_xy + Cu_yy = … का प्रकार discriminant से तय होता है। प्रकार के अनुसार canonical form: u_ξξ + u_ηη, u_ηη, या u_ξη (निम्न order terms सहित)।

7. Mind Map

LPP एवं PDE

LPP

basic हल, graphical
simplex, द्वि-चरण

duality

नियम, strong duality
complementary slackness

transportation-assignment

VAM, MODI
Hungarian, dummy

प्रथम order PDE

Lagrange, Charpit
characteristic, strip-शर्त

द्वितीय order

CF, PI, canonical form
wave, heat, Laplace

8. महत्वपूर्ण One-liners

m constraint, n variable: maximum C(n, m) basic हल।
primal unbounded ⇒ dual infeasible।
transportation में basic कोशिकाएँ m + n − 1; कम हों तो degenerate।
Hungarian विधि में unbalanced समस्या के लिए dummy row (लागत 0)।
Lagrange equation का व्यापक हल F(u, v) = 0।
u_xx + u_yy = 0: elliptic; u_t = ku_xx: parabolic; u_tt = c²u_xx: hyperbolic।
दिया गया curve स्वयं characteristic हो, तो उससे होकर अनंत integral surface।

9. टिप्स एवं ट्रिक्स

गणना की तरकीबें

simplex शुरू करने से पहले दो variable वाली समस्या को graph से जाँच लें; उत्तर पहले से पता हो तो तालिका की भूलें पकड़ में आती हैं।
dual में 2 variable हों तो dual को graph से हल करें और complementary slackness से primal हल निकालें।
transportation में हर चरण पर row-column योग और कुल लागत लिखें।
PDE के हर हल को एक बार मूल equation में रखकर जाँचें।

याद रखने की तरकीब

dual-नियम: "max-≤ से min-≥; row बने column; RHS बने उद्देश्य"।

सामान्य भूल

दो प्रतिबंधों वाले system में कुछ column-pair linearly dependent हो सकते हैं; उनसे basic हल नहीं बनता। C(n, m) maximum संख्या है, real संख्या कम हो सकती है।

10. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper II · 1(e) · 10 अंक

system 2x₁ − x₂ + 3x₃ + x₄ = 6, 4x₁ − 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 10 के कितने basic हल हैं? सभी ज्ञात कीजिए, और feasible/infeasible/non-degenerate basic हलों की संख्या बताइए।

हल

maximum C(4, 2) = 6। column a₁ = (2, 4), a₂ = (−1, −2), a₃ = (3, −1), a₄ = (1, 2)। a₁ = −2a₂ = 2a₄, अतः pair (x₁, x₂), (x₁, x₄), (x₂, x₄) अव्युत्क्रमणीय; इनसे basic हल नहीं।

basic variable	हल	स्थिति
x₁, x₃	(18/7, 0, 2/7, 0)	feasible, non-degenerate
x₂, x₃	(0, −36/7, 2/7, 0)	infeasible
x₃, x₄	(0, 0, 2/7, 36/7)	feasible, non-degenerate

कुल 3 basic हल: 2 feasible, 1 infeasible; तीनों non-degenerate (कोई basic variable शून्य नहीं)।

Q2UPSC 2024 · Paper II · 1(e) · 10 अंक

द्वि-चरण विधि से हल कीजिए: max z = x₁ + 2x₂, x₁ − x₂ ≥ 3, 2x₁ + x₂ ≤ 10, x₁, x₂ ≥ 0।

हल

standard form: x₁ − x₂ − s₁ + A₁ = 3; 2x₁ + x₂ + s₂ = 10।

चरण I (min A₁): x₁ प्रवेश करता है (अनुपात 3 और 5), A₁ निकलता है। नई rows: x₁ = 3 + x₂ + s₁; 3x₂ + 2s₁ + s₂ = 4। A₁ = 0, चरण I पूर्ण।

चरण II: z = x₁ + 2x₂ = 3 + 3x₂ + s₁। x₂ प्रवेश करता है, s₂ निकलता है: x₂ = 4/3 − (2/3)s₁ − s₂/3।

z = 7 − s₁ − s₂ ⇒ optimal: x₁ = 13/3, x₂ = 4/3, z_max = 7

(graphical जाँच: vertex (3, 0), (5, 0), (13/3, 4/3) पर z = 3, 5, 7 ✓।)

Q3UPSC 2025 · Paper II · 3(c)

duality के सिद्धांत से हल कीजिए: max Z = 3x₁ + 4x₂, x₁ − x₂ ≤ 1, x₁ + x₂ ≥ 4, x₁ − 3x₂ ≤ 3, x₁, x₂ ≥ 0।

हल

दूसरे constraint को −x₁ − x₂ ≤ −4 लिखें। dual:

min W = y₁ − 4y₂ + 3y₃; y₁ − y₂ + y₃ ≥ 3; −y₁ − y₂ − 3y₃ ≥ 4; y ≥ 0

दूसरा dual constraint −(y₁ + y₂ + 3y₃) ≥ 4 किसी भी y ≥ 0 से संतुष्ट नहीं होता: dual infeasible।

primal feasible है (जैसे (0, 4))। duality theorem से primal का हल unbounded है। पुष्टि: x₁ = 0, x₂ = t ≥ 4 सभी constraint संतुष्ट करता है और Z = 4t → ∞।

Q4UPSC 2024 · Paper II · 3(c)

dual सिद्धांत से हल कीजिए: min z = 4x₁ + 3x₂ + x₃, x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≥ 12, 3x₁ + 2x₂ + x₃ ≥ 8, x ≥ 0।

हल

dual: max w = 12y₁ + 8y₂; y₁ + 3y₂ ≤ 4; 2y₁ + 2y₂ ≤ 3; 4y₁ + y₂ ≤ 1; y ≥ 0

4y₁ + y₂ ≤ 1 सबसे कड़ा है; feasible region vertex (0, 0), (¼, 0), (0, 1) वाला त्रिभुज (अन्य दो constraint वहाँ स्वतः संतुष्ट)। w: 0, 3, 8। optimal y = (0, 1), w = 8।

complementary slackness: y₂ > 0 ⇒ 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 8। dual के पहले दो constraint (0, 1) पर शिथिल (3 < 4, 2 < 3) ⇒ x₁ = x₂ = 0। अतः x₃ = 8।

उत्तर: x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 8, z_min = 8 (पहला constraint 32 ≥ 12 ✓)।

Q5UPSC 2025 · Paper II · 4(c)

तीन गोदामों A, B, C (आपूर्ति 22, 15, 8) से चार बाज़ारों I-IV (माँग 7, 12, 17, 9) की unit लागत: A (5, 2, 4, 3), B (4, 8, 1, 6), C (4, 6, 7, 5)। लिपिक का कार्यक्रम: A→II 12, A→III 1, A→IV 9, B→III 15, C→I 7, C→III 1। optimal कार्यक्रम और minimum कुल लागत ज्ञात कीजिए।

हल

balanced (45 = 45); basic कोशिकाएँ 6 = m + n − 1 ✓। लिपिक की लागत: 24 + 4 + 27 + 15 + 28 + 7 = 105।

MODI: u_A = 0 ⇒ v_II = 2, v_III = 4, v_IV = 3; u_B = −3; u_C = 3; v_I = 1। non-basic d_ij: A-I 4, B-I 6, B-II 9, B-IV 6, C-II 1, C-IV −1।

C-IV प्रवेश: loop C-IV(+) → C-III(−) → A-III(+) → A-IV(−); θ = min(1, 9) = 1। नया: C-IV 1, C-III 0 (निकला), A-III 2, A-IV 8।

पुनः MODI: u_A = 0, v_II = 2, v_III = 4, v_IV = 3, u_B = −3, u_C = 2, v_I = 2। d_ij: A-I 3, B-I 5, B-II 9, B-IV 6, C-II 2, C-III 1, सभी > 0 ⇒ optimal (और unique)।

A→II 12, A→III 2, A→IV 8, B→III 15, C→I 7, C→IV 1; minimum लागत = 24 + 8 + 24 + 15 + 28 + 5 = 104

Q6UPSC 2024 · Paper II · 4(c)

अधिकारियों A, B, C को चार क्षेत्रीय कार्यालयों (दिल्ली, मुंबई, कोलकाता, चेन्नई) में नियुक्त करने की लागत (हज़ार रुपये): A (16, 22, 24, 20), B (10, 32, 26, 16), C (10, 20, 46, 30)। minimum कुल लागत वाला assignment ज्ञात कीजिए।

हल

unbalanced (3 × 4): dummy row D (0, 0, 0, 0)। row-reduction: A (0, 6, 8, 4), B (0, 22, 16, 6), C (0, 10, 36, 20), D (0, 0, 0, 0); column-minimum सभी 0।

रेखाएँ: column 1 + row D = 2 < 4। अनढका minimum 4 ⇒ A (0, 2, 4, 0), B (0, 18, 12, 2), C (0, 6, 32, 16), D (4, 0, 0, 0)।
रेखाएँ: column 1, column 4, row D = 3। अनढका minimum 2 ⇒ A (0, 0, 2, 0), B (0, 16, 10, 2), C (0, 4, 30, 16), D (6, 0, 0, 2)।
रेखाएँ: column 1, row A, row D = 3 (B और C दोनों केवल column 1 में शून्य)। अनढका minimum 2 ⇒ A (2, 0, 2, 0), B (0, 14, 8, 0), C (0, 2, 28, 14), D (8, 0, 0, 2)।

assignment: C → दिल्ली (एकमात्र शून्य), B → चेन्नई, A → मुंबई, dummy → कोलकाता (कोई नियुक्त नहीं)।

minimum लागत = 10 + 16 + 22 = ₹48 हज़ार

(जाँच: B → दिल्ली लेने पर सबसे अच्छा 10 + 20 + 20 = 50; अतः 48 ही minimum।)

Q7UPSC 2025 · Paper II · 5(a) · 10 अंक

equation (D² + DD′ − 2D′²)z = y sin x का हल ज्ञात कीजिए।

हल

m² + m − 2 = 0 ⇒ m = 1, −2। C.F. = f₁(y + x) + f₂(y − 2x)।

P.I. = [1/((D − D′)(D + 2D′))] y sin x।

[1/(D + 2D′)] y sin x = ∫(c + 2x)sin x dx (c = y − 2x) = −(c + 2x)cos x + 2 sin x = −y cos x + 2 sin x।
[1/(D − D′)](−y cos x + 2 sin x) = ∫[−(c − x)cos x + 2 sin x]dx (c = y + x) = −c sin x + x sin x + cos x − 2cos x = −y sin x − cos x।

z = f₁(y + x) + f₂(y − 2x) − y sin x − cos x

(जाँच: z_xx + z_xy − 2z_yy = (y sin x + cos x) − cos x − 0 = y sin x ✓।)

Q8UPSC 2024 · Paper II · 5(a) · 10 अंक

दिखाइए कि u = f(x − kt + iαy) + g(x − kt − iαy) equation u_xx + u_yy = (1/C²)u_tt का हल है, जहाँ α² = 1 − k²/C²।

हल

ξ = x − kt + iαy: u_xx = f″, u_yy = (iα)²f″ = −α²f″, u_tt = k²f″।

u_xx + u_yy = (1 − α²)f″ = (k²/C²)f″ = u_tt/C²

g भाग के लिए भी (−iα)² = −α², अतः वही परिणाम। रैखिकता से योग भी हल है।

Q9UPSC 2025 · Paper II · 6(a)

आयताकार plate के लिए u_xx + u_yy = 0 को परिसीमा constraint u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x) के अधीन हल कीजिए।

हल

u = XY: X″/X = −Y″/Y = −λ²। X(0) = X(a) = 0 ⇒ X = sin(nπx/a), λ = nπ/a। Y″ = λ²Y, Y(0) = 0 ⇒ Y = sinh(nπy/a)।

u(x, y) = Σ_n=1^∞ B_n sin(nπx/a) sinh(nπy/a)

y = b पर: f(x) = ΣB_n sinh(nπb/a) sin(nπx/a), half-range sine series से:

B_n = [2/(a sinh(nπb/a))] ∫₀^a f(x) sin(nπx/a) dx

Q10UPSC 2024 · Paper II · 6(a)

दिखाइए कि u_xx + u_yy = 0 (−∞ < x < ∞, y ≥ 0), φ(x, 0) = f(x), और |x|, y → ∞ पर φ → 0, का हल φ(x, y) = (y/π)∫_−∞^∞f(ξ)dξ/[y² + (x − ξ)²] है।

हल (रूपरेखा)

x में Fourier transform Φ(ω, y) = ∫φ e^−iωxdx: Φ_yy − ω²Φ = 0 ⇒ Φ = A(ω)e^−|ω|y (y → ∞ पर boundedness के लिए), A = F(ω)।

e^−|ω|y का inverse transform: (1/2π)∫e^−|ω|ye^iωxdω = (1/π)·y/(x² + y²)।

convolution theorem से Φ = F·e^−|ω|y ⇒ φ = f * [y/(π(x² + y²))]:

φ(x, y) = (y/π)∫_−∞^∞ f(ξ) dξ / [y² + (x − ξ)²]

(y → 0⁺ पर कर्नेल delta function की ओर जाता है, अतः φ(x, 0) = f(x)।)

Q11UPSC 2025 · Paper II · 7(a)

z(p² − q²) = x − y का पूर्ण integral ज्ञात कीजिए।

हल

Z = (2/3)z^3/2 रखें: P = ∂Z/∂x = √z p, Q = √z q। equation P² − Q² = x − y, यानी P² − x = Q² − y = a (separable)।

P = √(x + a), Q = √(y + a) ⇒ dZ = √(x + a)dx + √(y + a)dy।

z^3/2 = (x + a)^3/2 + (y + a)^3/2 + b

Q12UPSC 2024 · Paper II · 7(a)

semi-linear equation (y − φ)φ_x + (φ − x)φ_y = x − y का वह integral surface ज्ञात कीजिए जो curve φ = 0, xy = 1 से होकर जाता है, और वृत्त x + y + φ = 0, x² + y² + φ² = a² से होकर जाने वाले surface।

हल

dx/(y − φ) = dy/(φ − x) = dφ/(x − y)। multiplier (1, 1, 1): dx + dy + dφ = 0 ⇒ x + y + φ = c₁। multiplier (x, y, φ): हर शून्य ⇒ x² + y² + φ² = c₂।

curve φ = 0, xy = 1: c₁ = x + y, c₂ = x² + y² = c₁² − 2। अतः x² + y² + φ² = (x + y + φ)² − 2:

xy + yφ + φx = 1

वृत्त: यह वृत्त स्वयं एक characteristic (c₁ = 0, c₂ = a²) है। अतः हर integral surface F(x + y + φ, x² + y² + φ²) = 0, जिसमें F(0, a²) = 0, इससे होकर जाता है; जैसे x² + y² + φ² − a² = k(x + y + φ), k arbitrary। (पहला surface इस वृत्त को तभी समाहित करता जब −a²/2 = 1, जो असंभव।)

Q13UPSC 2025 · Paper II · 8(a)

p² + q² = 2 के characteristic ज्ञात कीजिए और x = 0, z = y से होकर जाने वाला integral surface ज्ञात कीजिए।

हल

f = p² + q² − 2। characteristic equation: dx/dt = 2p, dy/dt = 2q, dz/dt = 2(p² + q²) = 4, dp/dt = 0, dq/dt = 0। अतः p, q constant और characteristic सरल रेखाएँ हैं।

initial curve: x₀ = 0, y₀ = s, z₀ = s। strip-शर्त: 1 = p₀·0 + q₀·1 ⇒ q₀ = 1; f = 0 ⇒ p₀ = ±1।

p₀ = 1: x = 2t, y = s + 2t, z = s + 4t ⇒ z = x + y।
p₀ = −1: x = −2t, y = s + 2t, z = s + 4t ⇒ z = y − x।

दोनों p² + q² = 2 को संतुष्ट करते हैं और (0, s, s) से गुज़रते हैं।

Q14UPSC 2024 · Paper II · 8(a)

∂/∂y(φ_x + φ) + 2x²y(φ_x + φ) = 0 को canonical form में बदलकर हल कीजिए।

हल

विस्तार: φ_xy + φ_y + 2x²y(φ_x + φ) = 0। A = C = 0, B = 1 ⇒ B² − 4AC = 1 > 0, hyperbolic; characteristic x = constant, y = constant, अतः ξ = x, η = y पर equation पहले से canonical form (φ_ξη + निम्न order term = 0) में है।

w = φ_x + φ रखें: w_y + 2x²y w = 0 ⇒ w = A(x)e^−x²y²।

φ_x + φ = A(x)e^−x²y²; multiplier e^x: (e^xφ)_x = A(x)e^{x − x²y²}।

φ(x, y) = e^−x[∫A(x)e^{x − x²y²}dx + B(y)]

(A, B arbitrary function।)

Q15अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

Charpit विधि से px + qy = pq का पूर्ण integral ज्ञात कीजिए।

हल

f = px + qy − pq; f_x = p, f_y = q, f_z = 0। −dp/f_x = −dq/f_y ⇒ dp/p = dq/q ⇒ p = aq।

aqx + qy = aq² ⇒ q = (ax + y)/a, p = ax + y।

dz = p dx + q dy = (ax + y)dx + ((ax + y)/a)dy = (1/a)(ax + y)d(ax + y)।

z = (ax + y)²/(2a) + b

11. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

LPP: C(n, m) और निर्भर column; simplex के नियम; द्वि-चरण; unbounded/infeasible की पहचान।
duality: परिवर्तन-नियम; weak और strong; complementary slackness; infeasible dual ⇒ unbounded primal।
transportation-assignment: m + n − 1; MODI और loop; Hungarian, dummy।
PDE प्रथम order: Lagrange (multiplier); Charpit; substitution से standard form; characteristic और strip-शर्त।
PDE द्वितीय order: C.F., P.I. (linear factor नियम); classification, canonical form; wave, heat, Laplace (आयत और semi-plane)।

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रैखिक प्रोग्रामन एवं आंशिक अवकल समीकरण