Real and Complex Analysis — UPSC Mathematics Optional Notes (Hindi)

1. अध्याय एक नज़र में

Paper II के Section A में modern algebra के बाद real analysis और complex analysis आते हैं। दोनों मिलकर हर वर्ष 80-100 अंक देते हैं। सिलेबस:

real analysis: real संख्या तंत्र (completeness, minimum ऊपरी bound); sequence, sequence की limit, Cauchy sequence; series और उसका convergence, absolute और conditional convergence; continuity और uniform continuity; compact sets पर continuous functions के गुण; Riemann integral, improper integral; functions के sequence और series का uniform convergence, continuity, differentiability और समाकलनीयता।
complex analysis: analytic function, Cauchy-Riemann equation, Cauchy theorem, Cauchy integral सूत्र; Taylor और Laurent series; singularities; Cauchy का residue theorem; contour integration।

2025 में alternating series का conditional convergence, Laurent series, Cauchy sequence, contour integration से 5π/12, ∮e^z/(z²(z + 1)³) dz, और "हर continuous function Riemann integrable" पूछे गए। 2024 में log|f′(z)| का harmonic होना, improper integral, harmonic functions से analytic function, Cauchy सिद्धांत से sequence का convergence, limit-मान से analytic function, pole और residue, term-by-term differentiation, और ऊपरी-निचले Riemann integral आए।

2. real numbers और sequence

completeness axiom: ℝ के हर non-empty, ऊपर से bounded subset का minimum ऊपरी bound (supremum) ℝ में होता है। ℚ में यह गुण नहीं ({x : x² < 2})।
आर्किमिडीय गुण: हर x के लिए कोई प्राकृत n > x। परिणाम: ℚ और irrational, दोनों ℝ में dense हैं।
sequence का convergence: a_n → L यदि हर ε > 0 के लिए N ऐसा कि n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε।
monotonic convergence theorem: हर bounded monotonic sequence convergent है।
बोल्ज़ानो-Weierstrass: हर bounded sequence का convergent उप-sequence होता है।
Cauchy sequence: हर ε > 0 के लिए N ऐसा कि m, n ≥ N ⇒ |a_m − a_n| < ε।
Cauchy का व्यापक convergence सिद्धांत: ℝ में sequence convergent ⇔ Cauchy।
- महत्व: limit जाने बिना convergence की जाँच; ℝ की completeness की समतुल्य अभिव्यक्ति; divergence दिखाने में भी उपयोगी (जैसे harmonic series: |s_2n − s_n| ≥ 1/2)।

3. series और उसका convergence

आवश्यक शर्त: Σa_n convergent ⇒ a_n → 0 (converse असत्य: Σ1/n)।
p-series: Σ1/n^p convergent ⇔ p > 1।
धन term series के test: तुलना, limit-तुलना, D'Alembert अनुपात (lim a_n+1/a_n < 1), Cauchy root (lim a_n^1/n < 1), राबे (lim n(a_n/a_n+1 − 1) > 1), Cauchy integral test।
Leibniz test: Σ(−1)ⁿ⁻¹u_n convergent यदि u_n घटता हुआ और u_n → 0।
absolute convergence: Σ|a_n| convergent। absolute ⇒ convergent। conditional: Σa_n convergent पर Σ|a_n| नहीं।
Riemann rearrangement theorem: conditional convergent series के terms को पुनर्व्यवस्थित कर किसी भी real योग (या divergence) तक पहुँचा जा सकता है; absolute convergent series का योग rearrangement से नहीं बदलता।

4. continuity, uniform continuity और Riemann integral

uniform continuity: हर ε के लिए एक ही δ (x पर निर्भर नहीं) कि |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε। उदाहरण: 1/x, (0, 1] पर continuous पर uniform continuous नहीं।
Heine theorem: compact set (ℝ में: bounded और closed, जैसे [a, b]) पर continuous function uniform continuous है।
[a, b] पर continuous function: bounded; अपने sup और inf को प्राप्त करता है (extremum मान theorem); intermediate मान गुण।
Riemann integral: विभाजन P पर U(P, f) = ΣM_iΔx_i, L(P, f) = Σm_iΔx_i। ऊपरी integral = inf U, निचला = sup L।
Riemann norm: f integrable ⇔ हर ε > 0 के लिए कोई P जिससे U(P, f) − L(P, f) < ε।
integrable function: continuous; monotonic; finite असांतत्यों वाले bounded। non-integrable उदाहरण: Dirichlet function (rational पर 1, irrational पर 0)।
दो functions का मिश्रण (rational पर g, irrational पर h; g, h continuous): ऊपरी integral = ∫max(g, h), निचला = ∫min(g, h)।
improper integral: तुलना test; μ-test: ∫₀¹dx/x^p convergent ⇔ p < 1; ∫₀¹log x dx = −1 (convergent)।

5. uniform convergence

pointwise बनाम uniform: f_n → f uniform ⇔ M_n = sup|f_n(x) − f(x)| → 0।
Weierstrass M-test: |u_n(x)| ≤ M_n और ΣM_n convergent ⇒ Σu_n uniform (और absolute) convergent।
परिणाम:
- continuous functions की uniform limit continuous।
- uniform convergence में limit और integral का क्रम बदला जा सकता है।
- term-by-term differentiation: यदि Σu_n किसी बिंदु पर convergent और Σu_n′ uniform convergent, तो (Σu_n)′ = Σu_n′। यह पर्याप्त शर्त है, आवश्यक नहीं।

6. complex analysis

6.1 analytic function

Cauchy-Riemann equation (f = u + iv): u_x = v_y, u_y = −v_x। polar: u_r = (1/r)v_θ, v_r = −(1/r)u_θ।
CR equation + continuous partial derivative ⇒ f analytic। f′(z) = u_x + iv_x।
harmonic: analytic f के u, v दोनों ∇²u = 0 को संतुष्ट करते हैं; v, u का harmonic conjugate। मिलन-Thomson विधि: f′(z) = u_x(z, 0) − iu_y(z, 0)।
उपयोगी identity: ∇² = 4∂²/∂z∂z̄। यदि g analytic और g ≠ 0, तो log|g| harmonic है।

6.2 Cauchy theorem और integral सूत्र

Cauchy-गूर्सा: ∮_Cf(z)dz = 0 (f, C के अंदर और ऊपर analytic)

f⁽ⁿ⁾(a) = (n!/2πi)∮_Cf(z)/(z − a)ⁿ⁺¹ dz

परिणाम: Liouville (bounded पूर्ण function constant); algebra का fundamental theorem; मोरेरा theorem; maximum modulus सिद्धांत।
limit-मान से function: यदि वृत्त पर function का मान दिया हो, तो z = e^iθ रखकर उसे z के analytic व्यंजक के रूप में पहचानें (या Cauchy integral सूत्र से अंदर के मान निकालें)।

6.3 Taylor, Laurent और singularities

Taylor: |z − a| < R में f(z) = Σa_n(z − a)ⁿ।
Laurent: वलयाकार region r < |z − a| < R में f(z) = Σ_−∞^∞a_n(z − a)ⁿ। व्यवहार में आंशिक भिन्न + गुणोत्तर series: |z| > |b| पर 1/(z + b) = (1/z)Σ(−b/z)ⁿ; |z| < |b| पर 1/(z + b) = (1/b)Σ(−z/b)ⁿ।
singularities: removable (negative powers नहीं), m order का pole (negative powers −m तक), अनिवार्य (अनंत negative powers, जैसे e^1/z)।
residue: Laurent में (z − a)⁻¹ का coefficient।

सरल pole: Res = lim(z − a)f(z) = P(a)/Q′(a); m order का pole: Res = [1/(m − 1)!] lim d^m−1/dz^m−1[(z − a)^mf(z)]

residue theorem: ∮_Cf(z)dz = 2πi × (C के अंदर residues का योग)

6.4 contour integration के मानक प्रकार

∫₀^2πR(cosθ, sinθ)dθ: z = e^iθ, cosθ = (z + z⁻¹)/2, dθ = dz/(iz), unit वृत्त।
∫_−∞^∞P(x)/Q(x)dx (deg Q ≥ deg P + 2, Q के real roots नहीं): ऊपरी semicircle; = 2πi Σ (ऊपरी half-plane के residue)। semicircle पर integral → 0 (ML-inequality)।
∫P(x)/Q(x)·e^imxdx: Jordan लेम्मा; real/imaginary भाग से cos और sin integral।

7. Master Formula Table

विषय	सूत्र / परिणाम
Cauchy सिद्धांत	convergent ⇔ \|a_m − a_n\| < ε (m, n ≥ N)
p-series	Σ1/n^p convergent ⇔ p > 1
Leibniz	u_n ↓ 0 ⇒ Σ(−1)ⁿu_n convergent
Riemann norm	U(P, f) − L(P, f) < ε
uniform convergence	sup\|f_n − f\| → 0; M-test
Cauchy-Riemann	u_x = v_y, u_y = −v_x
मिलन-Thomson	f′(z) = u_x(z, 0) − iu_y(z, 0)
लाप्लासियन	∇² = 4∂²/∂z∂z̄
Cauchy integral सूत्र	f⁽ⁿ⁾(a) = (n!/2πi)∮f/(z − a)ⁿ⁺¹
सरल pole पर residue	P(a)/Q′(a)
m order pole	[1/(m − 1)!] d^m−1[(z − a)^mf]/dz^m−1
residue theorem	∮f = 2πi ΣRes
rational integral	∫_−∞^∞P/Q = 2πi Σ(ऊपरी half-plane के Res)
त्रिकोणमितीय	z = e^iθ, dθ = dz/(iz)

8. चार्ट: अर्धवृत्ताकार contour

∫_−∞^∞(x² − x + 2)/((x² + 1)(x² + 9))dx के लिए: R → ∞ पर semicircle का योगदान शून्य; केवल ऊपरी half-plane के pole i और 3i के residue गिने जाते हैं।

9. Mind Map

real एवं complex analysis

sequence

completeness, monotonic
Cauchy सिद्धांत

series

test, Leibniz
absolute, conditional

continuity-integral

uniform continuity
Riemann norm, अनुचित

analytic

CR, harmonic
Cauchy theorem, सूत्र

residue

Laurent, pole
contour integration

10. महत्वपूर्ण One-liners

ℝ में sequence convergent ⇔ Cauchy; ℚ में यह सत्य नहीं।
Σ(−1)ⁿ⁻¹/n = log 2, conditional convergent।
[a, b] पर continuous function uniform continuous (Heine)।
Dirichlet function Riemann integrable नहीं (U = 1, L = 0)।
Σu_n′ का uniform convergence term-by-term differentiation की पर्याप्त, आवश्यक नहीं शर्त है।
analytic function के real और imaginary भाग harmonic होते हैं।
bounded पूर्ण function constant होता है (Liouville)।
e^1/z की z = 0 पर अनिवार्य singularity।

11. टिप्स एवं ट्रिक्स

गणना की तरकीबें

उच्च order pole पर residue के लिए कभी-कभी Laurent प्रसार (series-multiplication) differentiation से तेज़ होता है।
contour उत्तर की जाँच: real integral का मान real आना चाहिए; i बचे तो गणना में भूल है।
conditional convergence के उत्तर में दोनों भाग लिखें: series convergent (Leibniz) और absolute series divergent।

याद रखने की तरकीब

singularity की पहचान: "negative powers शून्य: removable; finite: pole; अनंत: अनिवार्य"।

सामान्य भूल

z sin(πz) जैसे product में z = 0 पर दोनों factor शून्य होते हैं, इसलिए वहाँ doublet (order 2) pole है, सरल नहीं।

12. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper II · 1(c) · 10 अंक

जाँचिए कि series Σ_n=1^∞(−1)ⁿ⁻¹/n absolute convergent है या conditional convergent।

हल

u_n = 1/n positive, घटता हुआ और → 0; Leibniz test से series convergent (योग log 2)।

Σ|a_n| = Σ1/n (p = 1) divergent; Cauchy सिद्धांत से भी: s_2n − s_n = Σ_n+1²ⁿ1/k ≥ n·(1/2n) = 1/2।

अतः series conditional convergent।

Q2UPSC 2025 · Paper II · 1(d) · 10 अंक

f(z) = 1/((z + 1)(z + 3)) को 1 < |z| < 3 में मान्य Laurent series में expand कीजिए।

हल

f(z) = ½[1/(z + 1) − 1/(z + 3)]।

|z| > 1: 1/(z + 1) = (1/z)·1/(1 + 1/z) = Σ_n≥0(−1)ⁿ/zⁿ⁺¹।
|z| < 3: 1/(z + 3) = (1/3)·1/(1 + z/3) = Σ_n≥0(−1)ⁿzⁿ/3ⁿ⁺¹।

f(z) = ½Σ_n=0^∞(−1)ⁿz⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ − ½Σ_n=0^∞(−1)ⁿzⁿ/3ⁿ⁺¹

खुले रूप में: f(z) = ½(1/z − 1/z² + 1/z³ − …) − (1/6)(1 − z/3 + z²/9 − …)।

Q3UPSC 2024 · Paper II · 1(b) · 10 अंक

यदि w = f(z), z का analytic function है, तो दिखाइए कि (∂²/∂x² + ∂²/∂y²) log|f′(z)| = 0 (जहाँ f′(z) ≠ 0)।

हल

g = f′ analytic और non-zero है। ∇² = 4∂²/∂z∂z̄, और log|g|² = log g + log ḡ।

log g analytic है, अतः ∂(log g)/∂z̄ = 0; और log ḡ, z̄ का function है, अतः ∂(log ḡ)/∂z = 0। इसलिए

∇² log|g| = 2∂²(log g + log ḡ)/∂z∂z̄ = 0

(यही तर्क f″ सहित किसी भी non-zero analytic function पर लागू होता है। वैकल्पिक: log|g| = Re(log g), और analytic function का real भाग harmonic होता है।)

Q4UPSC 2024 · Paper II · 1(c) · 10 अंक

∫₀² log x/√(2 − x) dx के convergence का test कीजिए।

हल

दो singular बिंदु: x = 0 (log x → −∞) और x = 2 (1/√(2 − x) → ∞)। ∫₀¹ + ∫₁² में बाँटें।

x = 0 के पास: |log x/√(2 − x)| ≤ |log x| (क्योंकि √(2 − x) ≥ 1, 0 < x ≤ 1), और ∫₀¹|log x| dx = 1 convergent।
x = 2 के पास: log x ≤ log 2 bounded, ∫₁²dx/(2 − x)^1/2 convergent (p = 1/2 < 1)।

अतः integral convergent है।

Q5UPSC 2024 · Paper II · 1(d) · 10 अंक

यदि φ और ψ Laplace equation को संतुष्ट करते हैं, तो दिखाइए कि f(z) = p + iq analytic है, जहाँ p = ∂φ/∂y − ∂ψ/∂x और q = ∂φ/∂x + ∂ψ/∂y।

हल

CR equation जाँचें (φ, ψ के द्वितीय partial derivative continuous मानकर):

p_x − q_y = (φ_yx − ψ_xx) − (φ_xy + ψ_yy) = −∇²ψ = 0

p_y + q_x = (φ_yy − ψ_xy) + (φ_xx + ψ_yx) = ∇²φ = 0

अतः p_x = q_y, p_y = −q_x, और ये derivative continuous हैं ⇒ f analytic।

Q6UPSC 2025 · Paper II · 2(a)

Cauchy sequence की परिभाषा दीजिए और सिद्ध कीजिए कि real numbers का हर convergent sequence Cauchy sequence है। Cauchy शर्त का क्या महत्व है?

हल

परिभाषा: खंड 2 के अनुसार।

प्रमाण: a_n → L। ε > 0 के लिए N ऐसा कि n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε/2। तब m, n ≥ N पर

|a_m − a_n| ≤ |a_m − L| + |L − a_n| < ε/2 + ε/2 = ε

महत्व: (1) ℝ में converse भी सत्य है (completeness), इसलिए limit जाने बिना convergence सिद्ध होता है; (2) ℚ जैसे अपूर्ण तंत्रों का भेद (√2 की ओर जाता rational sequence Cauchy है पर ℚ में convergent नहीं); (3) series के लिए Cauchy norm; (4) divergence दिखाने में (harmonic series)।

Q7UPSC 2024 · Paper II · 2(a)

Cauchy के व्यापक convergence सिद्धांत से sequence ⟨f_n⟩ के convergence की जाँच कीजिए, जहाँ f_n = 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!।

हल

k ≥ 1 के लिए k! ≥ 2^k−1। m > n पर:

|f_m − f_n| = Σ_k=n+1^m1/k! ≤ Σ_k=n+1^m1/2^k−1 < 1/2ⁿ⁻¹

ε > 0 के लिए N ऐसा लें कि 1/2^N−1 < ε; तब m > n ≥ N पर |f_m − f_n| < ε। sequence Cauchy है, अतः convergent (limit e)।

Q8UPSC 2025 · Paper II · 2(c)

contour integration विधि से सिद्ध कीजिए कि ∫_−∞^∞(x² − x + 2)/(x⁴ + 10x² + 9) dx = 5π/12।

हल

x⁴ + 10x² + 9 = (x² + 1)(x² + 9)। f(z) = (z² − z + 2)/((z² + 1)(z² + 9)); ऊपरी half-plane में सरल pole i, 3i (चार्ट)। deg Q − deg P = 2, अतः semicircle C_R पर integral ≤ πR·O(1/R²) → 0।

Res(i) = (i² − i + 2)/[(2i)(i² + 9)] = (1 − i)/(16i)।
Res(3i) = (−9 − 3i + 2)/[(−9 + 1)(6i)] = (7 + 3i)/(48i)।

योग = [3(1 − i) + 7 + 3i]/(48i) = 10/(48i) = 5/(24i); I = 2πi × 5/(24i) = 5π/12

Q9UPSC 2024 · Paper II · 2(c)

वह function ज्ञात कीजिए जो वृत्त C : z = e^iθ के अंदर और उस पर analytic है और C की परिधि पर जिसका मान [(a² − 1)cosθ + i(a² + 1)sinθ]/(a⁴ − 2a²cos2θ + 1) है, जहाँ a² > 1।

हल

|z| = 1 पर z̄ = 1/z। अंश: a²z − z̄ = a²(cosθ + i sinθ) − (cosθ − i sinθ) = (a² − 1)cosθ + i(a² + 1)sinθ। हर: |a² − z²|² = (a² − z²)(a² − z̄²) = a⁴ − 2a²cos2θ + 1।

अतः limit-मान = (a²z − z̄)/[(a² − z²)(a² − z̄²)]। पर a²z − z̄ = a²z − z z̄² = z(a² − z̄²) (क्योंकि z z̄ = 1, यानी z̄ = z z̄²)। इसलिए

limit-मान = z/(a² − z²)

f(z) = z/(a² − z²) के pole ±a हैं, |a| > 1, अतः f, |z| ≤ 1 में analytic है। maximum modulus सिद्धांत (या Cauchy integral सूत्र) से अंदर का analytic function limit-मानों से unique रूप से निर्धारित है। f(z) = z/(a² − z²)।

Q10UPSC 2025 · Paper II · 3(a)

integral ∮_C e^z/(z²(z + 1)³) dz का मान ज्ञात कीजिए, C : |z| = 2।

हल

दोनों pole z = 0 (order 2) और z = −1 (order 3) C के अंदर।

Res(0) = d/dz[e^z/(z + 1)³] (z = 0) = e^z(z + 1 − 3)/(z + 1)⁴ |₀ = −2।

Res(−1) = (1/2!) d²/dz²[e^zz⁻²] (z = −1) = ½e^z(z⁻² − 4z⁻³ + 6z⁻⁴)|₋₁ = ½e⁻¹(1 + 4 + 6) = 11/(2e)।

∮ = 2πi(−2 + 11/(2e)) = πi(11/e − 4)

Q11UPSC 2024 · Paper II · 3(a)

f(z) = 1/(z sin(πz)(z + ½)) के pole और उनकी order ज्ञात कीजिए, तथा इन ध्रुवों पर residue ज्ञात कीजिए।

हल

z = 0: z और sin πz दोनों शून्य ⇒ order 2। sin πz = πz(1 − π²z²/6 + …), 1/(z + ½) = 2(1 − 2z + …): f = (2/πz²)(1 + π²z²/6 + …)(1 − 2z + …) ⇒ Res = −4/π।
z = n (n ≠ 0 integer): सरल pole, Res = 1/[n(n + ½)π cos(nπ)] = 2(−1)ⁿ/(πn(2n + 1))।
z = −½: सरल pole (sin(−π/2) = −1 ≠ 0), Res = 1/[(−½)(−1)] = 2।

Q12UPSC 2024 · Paper II · 3(b)

series ΣU_n(x), 0 ≤ x ≤ 1, के पहले n terms का योग S_n(x) = (1/2n²)log(1 + n⁴x²) है। दिखाइए कि series का term-by-term differentiation किया जा सकता है, यद्यपि ΣU_n′(x), [0, 1] पर uniform convergent नहीं है।

हल

योग: x ≠ 0 पर log(1 + n⁴x²) ≈ 4 log n + 2 log x, अतः S_n → 0; x = 0 पर 0। S(x) ≡ 0, S′(x) = 0।

differentiated series: ΣU_n′ का n-वाँ आंशिक योग S_n′(x) = n²x/(1 + n⁴x²) → 0 हर x पर। अतः ΣU_n′(x) = 0 = S′(x), यानी term-by-term differentiation मान्य।

uniform नहीं: x = 1/n² पर S_n′ = ½, अतः sup|S_n′(x) − 0| ≥ ½ ↛ 0। (यह दिखाता है कि uniform convergence केवल पर्याप्त शर्त है।)

Q13UPSC 2025 · Paper II · 4(b)

सिद्ध कीजिए कि हर continuous function Riemann integrable है।

हल

f, [a, b] पर continuous ⇒ bounded, और Heine theorem से uniform continuous। ε > 0 दिया; δ ऐसा कि |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε/(b − a)।

‖P‖ < δ वाला विभाजन P लें। हर उप-interval पर f अपने M_i और m_i को प्राप्त करता है (extremum मान theorem), बिंदुओं की दूरी < δ, अतः M_i − m_i < ε/(b − a)।

U(P, f) − L(P, f) = Σ(M_i − m_i)Δx_i < [ε/(b − a)]Σ Δx_i = ε

Riemann norm से f integrable।

Q14UPSC 2024 · Paper II · 4(b)

[0, 1] पर f(x) = √(1 − x²) (x rational), 1 − x (x irrational) के ऊपरी और निचले Riemann integral ज्ञात कीजिए। अतः दिखाइए कि f Riemann integrable नहीं है।

हल

[0, 1] पर √(1 − x²) ≥ 1 − x (क्योंकि 1 − x² − (1 − x)² = 2x(1 − x) ≥ 0)। rational और irrational दोनों हर interval में dense हैं, और दोनों function continuous हैं; अतः हर उप-interval पर M_i = sup√(1 − x²), m_i = inf(1 − x)।

ऊपरी integral = ∫₀¹√(1 − x²)dx = π/4; निचला = ∫₀¹(1 − x)dx = 1/2

π/4 ≈ 0.785 ≠ 0.5, अतः f Riemann integrable नहीं।

Q15अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

residue theorem से सिद्ध कीजिए कि ∫₀^2πdθ/(5 + 4cosθ) = 2π/3।

हल

z = e^iθ: cosθ = (z + 1/z)/2, dθ = dz/(iz)। integral = ∮dz/[iz(5 + 2z + 2/z)] = (1/i)∮dz/(2z² + 5z + 2) = (1/i)∮dz/[(2z + 1)(z + 2)]।

unit वृत्त के अंदर केवल z = −½। Res = 1/[2(−½ + 2)] = 1/3।

I = (1/i)·2πi·(1/3) = 2π/3

13. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

sequence-series: completeness; Cauchy सिद्धांत (प्रमाण और महत्व); test; Leibniz; absolute बनाम conditional।
continuity-integral: uniform continuity, Heine; Riemann norm; continuous ⇒ integrable; दो functions के मिश्रण का ऊपरी-निचला integral; improper integral।
uniform convergence: sup-norm; M-test; term-by-term differentiation (पर्याप्त शर्त)।
complex: CR, harmonic, log|g|; Cauchy theorem और सूत्र; limit-मान से function; Laurent; pole-order; residue; contour के तीन प्रकार।

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