UPSC Mains · Mathematics · Paper I · अध्याय 3

विश्लेषिक ज्यामिति (3D)

Analytic Geometry

त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांक, सरल रेखा, समतल, गोला, शंकु, बेलन, शांकवज, जनक रेखाएँ और द्वितीय घात के पृष्ठ।

Paper I 16 मिनट

1. अध्याय एक नज़र में

त्रिविमीय analytic geometry (3D Analytic Geometry) Paper I का सबसे "स्कोरिंग" खंड है: प्रश्न लगभग मानक होते हैं और सही विधि से पूरे अंक मिलते हैं। सिलेबस:

  • तीन dimensions में Cartesian और polar coordinates; direction cosines।
  • plane, सरल रेखा; दो skew रेखाओं के बीच shortest distance।
  • sphere, cone, cylinder।
  • conicoid: ellipsoid, एक और दो surface वाले hyperboloid, paraboloid; tangent plane, normal; generating lines; द्वितीय degree के equation का standard form में reduction।

2025 में cone (guiding curve दिया हो), cylinder (generator दिशा दी हो), shortest distance, वृत्त से होकर जाने वाले और plane को स्पर्श करने वाले sphere, और "रेखा से होकर कोई tangent plane नहीं" पूछे गए। 2024 में right circular cylinder, plane में रेखा का image, cone का vertex, और orthogonal रूप से काटने वाला sphere आए।

2. रेखा और plane

  • direction cosines: l² + m² + n² = 1; दो रेखाओं के बीच कोण cosθ = l1l2 + m1m2 + n1n2।
  • plane: ax + by + cz + d = 0 (normal (a, b, c)); अंतःखंड रूप x/a + y/b + z/c = 1; normal रूप lx + my + nz = p।
  • बिंदु से plane की दूरी: |ax1 + by1 + cz1 + d| / √(a² + b² + c²)।
  • दो planes के intersection से होकर plane: P1 + λP2 = 0।
  • symmetric रूप में रेखा: (x − x1)/l = (y − y1)/m = (z − z1)/n। दो planes के intersection (असममित रूप) से symmetric रूप: दिशा = n1 × n2।
  • रेखा और plane: रेखा plane में है ⇔ al + bm + cn = 0 और एक बिंदु plane पर। रेखा plane के parallel ⇔ al + bm + cn = 0।
  • सह-coplanarity: दो रेखाएँ सह-planar ⇔ [AB, d1, d2] = 0 (scalar triple product)।
  • बिंदु का plane में image:
(x − x1)/a = (y − y1)/b = (z − z1)/c = −2(ax1 + by1 + cz1 + d)/(a² + b² + c²)
  • रेखा का plane में image: (i) रेखा और plane का intersection बिंदु ज्ञात करें; (ii) रेखा के किसी अन्य बिंदु का image लें; (iii) दोनों को जोड़ें। (यदि रेखा plane के parallel है, तो image रेखा उसी दिशा में।)

2.1 shortest distance

SD = |(B − A)·(d1 × d2)| / |d1 × d2|
  • A, B दोनों रेखाओं के बिंदु; d1, d2 दिशा-vector। shortest distance की रेखा दोनों रेखाओं पर perpendicular है और d1 × d2 की दिशा में है।
  • foot-बिंदु ज्ञात करने के लिए: P = A + sd1, Q = B + td2; PQ·d1 = 0 और PQ·d2 = 0 से s, t।

3. sphere

  • व्यापक equation: x² + y² + z² + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0; केंद्र (−u, −v, −w), radius √(u² + v² + w² − d)।
  • वृत्त: sphere और plane का intersection। वृत्त का केंद्र = sphere के केंद्र से plane पर foot of the perpendicular; radius² = R² − (दूरी)²।
  • वृत्त से होकर sphere: S + λP = 0।
  • tangent plane (x1, y1, z1) पर: xx1 + yy1 + zz1 + u(x + x1) + v(y + y1) + w(z + z1) + d = 0।
  • स्पर्श की शर्त: केंद्र से plane की दूरी = radius।
  • orthogonal intersection: 2(u1u2 + v1v2 + w1w2) = d1 + d2।
  • principal axes plane (Radical Plane): S1 − S2 = 0।
  • किसी बिंदु पर स्पर्श करने वाले spheres का कुल: (x − x1)² + (y − y1)² + (z − z1)² + k(tangent plane) = 0।
  • रेखा से होकर tangent plane: रेखा से होकर planes का कुल P1 + μP2 = 0 लें और स्पर्श की शर्त लगाएँ। यदि μ के real मान न मिलें, तो कोई tangent plane नहीं; geometric रूप से तब रेखा sphere को काटती है (केंद्र से रेखा की दूरी < radius)।

4. cone और cylinder

  • origin पर vertex वाला cone: equation x, y, z में homogeneous होता है।
  • cone का vertex: F(x, y, z) = 0 के लिए Fx = Fy = Fz = 0 हल करें (और जाँचें F = 0)। व्यापक द्वितीय degree equation cone निरूपित करता है ⇔ उसका 4 × 4 determinant शून्य।
  • दिए गए vertex और guiding curve से cone: vertex (α, β, γ) से जाने वाली रेखा को curve के plane से मिलाएँ, intersection-बिंदु curve के equation में रखें।
  • तीन परस्पर perpendicular generator: ax² + by² + cz² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0 के तीन परस्पर perpendicular generator हैं ⇔ a + b + c = 0।
  • right circular cone: axis के साथ हर generator एक नियत कोण α बनाता है: (P − V)·d = |P − V||d|cosα।
  • दी गई दिशा के generator वाला cylinder: (x, y, z) से generator-दिशा में चलकर curve के plane पर बिंदु निकालें और curve में रखें।
  • right circular cylinder: axis (बिंदु A, दिशा d) से हर बिंदु की दूरी = r:
|P − A|² − [(P − A)·d]²/|d|² = r²
  • अन्वालोपी (Enveloping) cone और cylinder: SS1 = T² (cone, vertex बिंदु से); cylinder के लिए दिशा-शर्त।

5. conicoid

surfaceमानक equationविशेषता
ellipsoidx²/a² + y²/b² + z²/c² = 1बंद, central
एक surface वाला hyperboloidx²/a² + y²/b² − z²/c² = 1दो कुल की generating lines (द्वि-ruled surface)
दो surface वाला hyperboloidx²/a² − y²/b² − z²/c² = 1दो अलग भाग
elliptic paraboloidx²/a² + y²/b² = 2z/cअसीम कटोरा
hyperbolic paraboloidx²/a² − y²/b² = 2z/cपल्याण (saddle); द्वि-ruled
  • central conicoid ax² + by² + cz² = 1 पर tangent plane (x1, y1, z1) पर: axx1 + byy1 + czz1 = 1।
  • स्पर्श की शर्त (lx + my + nz = p): l²/a + m²/b + n²/c = p²।
  • normal (x1, y1, z1) पर: (x − x1)/(ax1) = (y − y1)/(by1) = (z − z1)/(cz1)।
  • एक surface वाले hyperboloid की generating lines:
λ-कुल: x/a − z/c = λ(1 − y/b), λ(x/a + z/c) = 1 + y/b
μ-कुल: x/a − z/c = μ(1 + y/b), μ(x/a + z/c) = 1 − y/b
  • गुणधर्म: एक ही कुल की दो रेखाएँ intersection नहीं करतीं (skew); भिन्न कुलों की कोई दो रेखाएँ सह-planar होती हैं; हर बिंदु से हर कुल की ठीक एक रेखा गुज़रती है।
  • द्वितीय degree का reduction: quadratic भाग के matrix के eigenvalue λ1, λ2, λ3 से rotation के बाद λ1X² + λ2Y² + λ3Z² + … ; फिर स्थानांतरण से standard form।

6. Master Formula Table

विषयसूत्र
बिंदु से plane की दूरी|ax1 + by1 + cz1 + d| / √(a² + b² + c²)
parallel planes की दूरी|d1 − d2| / √(a² + b² + c²)
बिंदु का imageP′ = P − 2[(n·P + d)/|n|²] n
shortest distance|(B − A)·(d1 × d2)| / |d1 × d2|
सह-coplanarity[B − A, d1, d2] = 0
sphere का केंद्र, radius(−u, −v, −w); √(u² + v² + w² − d)
sphere पर tangent planexx1 + yy1 + zz1 + u(x + x1) + v(y + y1) + w(z + z1) + d = 0
orthogonal sphere2(u1u2 + v1v2 + w1w2) = d1 + d2
cone का vertexFx = Fy = Fz = 0
तीन परस्पर perpendicular generatora + b + c = 0
right circular cylinder|P − A|² − [(P − A)·d]²/|d|² = r²
central conicoid पर स्पर्शl²/a + m²/b + n²/c = p²
tangent plane (conicoid)axx1 + byy1 + czz1 = 1
अन्वालोपी coneSS1 = T²

7. चार्ट: skew रेखाओं के बीच shortest distance

L1: A + s d1 L2: B + t d2 P Q PQ = SD, दिशा d1 × d2
shortest distance PQ दोनों रेखाओं पर perpendicular होती है। SD, vector AB का d1 × d2 पर प्रक्षेप है। यदि AB स्वयं d1 × d2 के parallel हो, तो A और B ही foot-बिंदु हैं।

8. Mind Map

3D geometry
रेखा-plane
  • image, कोण
  • SD, सह-coplanarity
sphere
  • S + λP, स्पर्श
  • orthogonal, principal axes
cone
  • vertex, guiding curve
  • a + b + c = 0
cylinder
  • generator-दिशा
  • right circular
conicoid
  • स्पर्श, normal
  • generating lines

9. महत्वपूर्ण One-liners

  • दो planes से होकर plane-कुल: P1 + λP2 = 0।
  • वृत्त से होकर sphere: S + λP = 0।
  • origin-vertex cone का equation homogeneous होता है।
  • तीन परस्पर perpendicular generator ⇔ a + b + c = 0।
  • sphere orthogonal ⇔ 2Σu1u2 = d1 + d2।
  • एक surface वाला hyperboloid और hyperbolic paraboloid द्वि-ruled (doubly ruled) surface हैं।
  • एक ही कुल की दो generating lines skew होती हैं।
  • रेखा sphere को काटे तो उससे होकर कोई tangent plane नहीं।

10. टिप्स एवं ट्रिक्स

विधि-चयन
  • "वृत्त से होकर" → S + λP; "बिंदु पर स्पर्श" → (बिंदु-sphere) + k(tangent plane); "रेखा से होकर plane" → P1 + μP2।
  • अंतिम उत्तर को हमेशा एक दिए गए बिंदु से जाँचें (जैसे cone के vertex को equation में रखना)।
  • SD निकालने से पहले देखें कि AB, d1 × d2 के parallel तो नहीं; तब SD = |AB| तुरंत।
याद रखने की तरकीब

sphere के प्रश्नों का "तीन-शब्द" सूत्र: कुल बनाओ, शर्त लगाओ, λ निकालो।

सामान्य भूल

S + λP वाले उत्तर में λ = 0 भी हल हो सकता है (दिया गया sphere स्वयं शर्त पूरी करता हो)। दोनों sphere लिखें।

11. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper I · 1(e) · 10 अंक

उस cone का equation ज्ञात कीजिए जिसका vertex (1, 1, 0) है और guiding curve y = 0, x² + z² = 4 है।

हल

(x, y, z) cone पर; vertex से इस बिंदु तक की रेखा: (1, 1, 0) + t(x − 1, y − 1, z)। y = 0 पर t = 1/(1 − y), बिंदु ((x − y)/(1 − y), 0, z/(1 − y))।

guiding curve में रखने पर: (x − y)² + z² = 4(1 − y)²।

x² − 3y² + z² − 2xy + 8y − 4 = 0

जाँच: (1, 1, 0): 1 − 3 + 0 − 2 + 8 − 4 = 0 ✓।

Q2UPSC 2024 · Paper I · 1(e) · 10 अंक

वृत्त x² + y² + z² = 9, x − y + z = 3 से होकर जाने वाले right circular cylinder का equation ज्ञात कीजिए।

हल

वृत्त का केंद्र: origin से plane पर foot of the perpendicular = (1, −1, 1) (दूरी √3)। radius² = 9 − 3 = 6। axis: (1, −1, 1) से, दिशा (1, −1, 1)।

(x − 1)² + (y + 1)² + (z − 1)² − (x − y + z − 3)²/3 = 6

सरल करने पर: x² + y² + z² + xy − xz + yz = 9।

जाँच: (3, 0, 0) वृत्त पर है और 9 = 9 ✓।

Q3UPSC 2025 · Paper I · 2(c)

(i) उस cylinder का equation ज्ञात कीजिए जिसके generator रेखा x/1 = y/2 = z/3 के parallel हैं और जो curve x² + y² = 16, z = 0 से होकर जाता है। (ii) रेखाओं (x − 3)/3 = (y − 8)/(−1) = (z − 3)/1 और (x + 3)/(−3) = (y + 7)/2 = (z − 6)/4 के बीच shortest distance ज्ञात कीजिए।

हल

(i) (x, y, z) से generator-दिशा (1, 2, 3) में z = 0 तक: बिंदु (x − z/3, y − 2z/3, 0)। curve में रखने पर (3x − z)² + (3y − 2z)² = 144:

9x² + 9y² + 5z² − 6xz − 12yz − 144 = 0

(ii) A = (3, 8, 3), d1 = (3, −1, 1); B = (−3, −7, 6), d2 = (−3, 2, 4)।

d1 × d2 = (−4 − 2, −(12 + 3), 6 − 3) = (−6, −15, 3) = −3(2, 5, −1); |(2, 5, −1)| = √30।

B − A = (−6, −15, 3), जो स्वयं (2, 5, −1) के parallel है। अतः

SD = |(−6, −15, 3)·(2, 5, −1)|/√30 = 90/√30 = 3√30

(A और B ही shortest distance के foot-बिंदु हैं।)

Q4UPSC 2024 · Paper I · 2(c)

रेखा x = 3 − 6t, y = 2t, z = 3 + 2t का plane 3x + 4y − 5z + 26 = 0 में image ज्ञात कीजिए।

हल

d·n = (−6)(3) + 2(4) + 2(−5) = −20 ≠ 0, अतः रेखा plane को काटती है: 3(3 − 6t) + 8t − 5(3 + 2t) + 26 = 20 − 20t = 0 ⇒ t = 1, बिंदु R = (−3, 2, 5)।

t = 0 का बिंदु P = (3, 0, 3); n·P + 26 = 9 − 15 + 26 = 20। image P′ = P − (2 × 20/50)(3, 4, −5) = (0.6, −3.2, 7)।

R से P′ की दिशा (3.6, −5.2, 2) ∝ (9, −13, 5)।

image रेखा: (x + 3)/9 = (y − 2)/(−13) = (z − 5)/5
Q5UPSC 2025 · Paper I · 3(b)

उन spheres के equation ज्ञात कीजिए जो वृत्त x² + y² + z² − 2x + 2y + 4z − 3 = 0, 2x + y + z = 4 से होकर जाते हैं और plane 3x + 4y = 14 को स्पर्श करते हैं।

हल

S + λP: x² + y² + z² + (2λ − 2)x + (λ + 2)y + (λ + 4)z − 3 − 4λ = 0।

केंद्र (1 − λ, −(λ + 2)/2, −(λ + 4)/2); r² = (1 − λ)² + (λ + 2)²/4 + (λ + 4)²/4 + 3 + 4λ = 1.5λ² + 5λ + 9।

केंद्र से 3x + 4y − 14 = 0 की दूरी: |3 − 3λ − 2λ − 4 − 14|/5 = |λ + 3|।

(λ + 3)² = 1.5λ² + 5λ + 9 ⇒ 0.5λ² − λ = 0 ⇒ λ = 0, 2
  • λ = 0: x² + y² + z² − 2x + 2y + 4z − 3 = 0 (केंद्र (1, −1, −2), r = 3, दूरी 3 ✓)।
  • λ = 2: x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z − 11 = 0 (केंद्र (−1, −2, −3), r = 5, दूरी 25/5 = 5 ✓)।
Q6UPSC 2024 · Paper I · 3(c)

cone 4x² − y² + 2z² + 2xy − 3yz + 12x − 11y + 6z + 4 = 0 का vertex ज्ञात कीजिए।

हल
Fx = 8x + 2y + 12 = 0; Fy = 2x − 2y − 3z − 11 = 0; Fz = 4z − 3y + 6 = 0

पहले से y = −4x − 6; तीसरे से z = (3y − 6)/4 = −3x − 6; दूसरे में रखने पर 19x + 19 = 0 ⇒ x = −1, y = −2, z = −3।

vertex (−1, −2, −3)। जाँच: F(−1, −2, −3) = 4 − 4 + 18 + 4 − 18 − 12 + 22 − 18 + 4 = 0 ✓।

Q7UPSC 2025 · Paper I · 4(a)

दर्शाइए कि sphere x² + y² + z² − 4x + 2y − 4z + 4 = 0 का ऐसा कोई tangent plane नहीं है जो रेखा (x + 6)/2 = y + 3 = z + 1 से होकर जाए।

हल

sphere: केंद्र C(2, −1, 2), r = √5। रेखा दो planes का intersection है: x − 2y = 0 और y − z + 2 = 0।

रेखा से होकर plane: x + (μ − 2)y − μz + 2μ = 0। स्पर्श की शर्त:

(4 − μ)² = 5[1 + (μ − 2)² + μ²] ⇒ 3μ² − 4μ + 3 = 0

discriminant 16 − 36 < 0, कोई real μ नहीं। plane y − z + 2 = 0 (μ → ∞) की केंद्र से दूरी 1/√2 ≠ √5। अतः कोई tangent plane नहीं।

geometric पुष्टि: केंद्र से रेखा की दूरी = |(−8, −2, −3) × (2, 1, 1)|/√6 = √21/√6 ≈ 1.87 < √5 ≈ 2.24, यानी रेखा sphere को काटती है।

Q8UPSC 2024 · Paper I · 4(c)

उस sphere का equation ज्ञात कीजिए जो plane 3x + 2y − z + 2 = 0 को बिंदु (1, −2, 1) पर स्पर्श करता है और sphere x² + y² + z² − 4x + 6y + 4 = 0 को लांबिकतः काटता है।

हल

spheres का कुल: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² + k(3x + 2y − z + 2) = 0, यानी

x² + y² + z² + (3k − 2)x + (2k + 4)y − (k + 2)z + 6 + 2k = 0

orthogonality: 2[(3k − 2)/2 · (−2) + (k + 2) · 3 + 0] = (6 + 2k) + 4 ⇒ 16 = 10 + 2k ⇒ k = 3।

x² + y² + z² + 7x + 10y − 5z + 12 = 0। (जाँच: केंद्र (−3.5, −5, 2.5), r² = 31.5; plane से दूरी² = 21²/14 = 31.5 ✓।)

Q9अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

hyperboloid x²/4 + y²/9 − z²/16 = 1 के बिंदु (2, 3, −4) से होकर जाने वाली generating lines ज्ञात कीजिए।

हल

बिंदु surface पर है: 1 + 1 − 1 = 1 ✓। रेखा (2 + lt, 3 + mt, −4 + nt) पूरी तरह surface पर हो, इसके लिए t के हर मान पर equation सत्य होना चाहिए:

1 + lt + l²t²/4 + 1 + (2/3)mt + m²t²/9 − 1 + (1/2)nt − n²t²/16 = 1
  • t का coefficient: l + 2m/3 + n/2 = 0 ⇒ 6l + 4m + 3n = 0।
  • t² का coefficient: l²/4 + m²/9 − n²/16 = 0 ⇒ 36l² + 16m² − 9n² = 0।

पहले से 3n = −(6l + 4m); दूसरे में रखने पर 36l² + 16m² − (6l + 4m)² = −48lm = 0 ⇒ l = 0 या m = 0।

  • l = 0: n = −4m/3, दिशा (0, 3, −4) ⇒ (x − 2)/0 = (y − 3)/3 = (z + 4)/(−4)।
  • m = 0: n = −2l, दिशा (1, 0, −2) ⇒ (x − 2)/1 = (y − 3)/0 = (z + 4)/(−2)।

ये दोनों रेखाएँ generator रेखाओं के दो अलग कुलों (λ और μ) की हैं। (जाँच: (2, 3 + 3t, −4 − 4t) रखने पर 1 + (1 + t)² − (1 + t)² = 1 ✓।)

12. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें
  • रेखा-plane: दूरी, image (बिंदु और रेखा), SD सूत्र और foot-बिंदु।
  • sphere: S + λP; स्पर्श-शर्त; orthogonality; रेखा से होकर tangent plane।
  • cone-cylinder: vertex (partial derivative); guiding curve से cone; generator-दिशा से cylinder; right circular cylinder।
  • conicoid: स्पर्श-शर्त l²/a + m²/b + n²/c = p²; generator रेखाओं के दो कुल।
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