Ordinary Differential Equations — UPSC Mathematics Optional

1. अध्याय एक नज़र में

साधारण differential equation (ODE) Paper I के Section B का पहला खंड है और लगभग हर वर्ष 50-70 अंक देता है। सिलेबस:

differential equation का निर्माण; order और degree।
प्रथम order, प्रथम degree: variable-separable, homogeneous, exact, integration multiplier, linear, Bernoulli।
प्रथम order, उच्च degree: p, y या x के लिए हल करने योग्य; Clairaut equation; singular solution।
orthogonal trajectories।
उच्च order linear equation: constant coefficient; complementary function और particular integral; Cauchy-Euler equation।
द्वितीय order, variable coefficient: एक हल ज्ञात होने पर पूर्ण हल; variation of parameters।
Laplace और inverse Laplace transform: गुणधर्म; initial मान समस्याएँ।

2025 में Clairaut-प्रकार का उच्च degree equation, ellipses का differential equation, convolution theorem, singular solution, Cauchy-Euler, और parameter-variation पूछे गए। 2024 में polar orthogonal trajectories, Laplace से integral equation, दूसरा हल, parameter-variation, existence-uniqueness theorem, और डिरैक delta function आए।

2. प्रथम order, प्रथम degree के equation

निर्माण: n arbitrary constants वाले कुल से n बार differentiation करके constant हटाएँ; परिणाम n order का equation।
variable-separable: f(x)dx = g(y)dy।
homogeneous: dy/dx = f(y/x); y = vx रखें। अ-homogeneous (ax + by + c) रूप में origin स्थानांतरित करें।
exact: M dx + N dy = 0 exact है ⇔ ∂M/∂y = ∂N/∂x। हल: ∫M dx (y constant) + ∫(N के वे term जिनमें x नहीं) dy = c।
integration multiplier (I.F.) के नियम:
- (M_y − N_x)/N = f(x) ⇒ I.F. = e^∫f(x)dx।
- (N_x − M_y)/M = g(y) ⇒ I.F. = e^∫g(y)dy।
- homogeneous equation: I.F. = 1/(Mx + Ny) (Mx + Ny ≠ 0)।
- yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0: I.F. = 1/(Mx − Ny)।
linear: dy/dx + Py = Q ⇒ y·e^{∫P dx} = ∫Q e^{∫P dx} dx + c।
Bernoulli: dy/dx + Py = Qyⁿ; v = y¹⁻ⁿ रखने पर linear।

3. प्रथम order, उच्च degree; Clairaut; singular solution

p के लिए हल करने योग्य: equation को p के गुणनखंडों में तोड़ें, हर factor को हल करें, फिर हलों का product।
y के लिए हल करने योग्य: y = f(x, p); x से differentiated कर p और x का equation बनाएँ।
x के लिए हल करने योग्य: x = f(y, p); y से differentiated करें (1/p = …)।
Clairaut equation: y = px + f(p)। व्यापक हल: y = cx + f(c)। singular solution: x + f′(p) = 0 और equation से p हटाएँ (envelope, envelope)।
Clairaut में बदलने वाले substitution: X = x², Y = y²; X = e^x, Y = e^y आदि।
singular solution: ऐसा हल जो व्यापक हल से constant का कोई मान रखकर न मिले।
- p-discriminant (p में quadratic Ap² + Bp + C: B² − 4AC = 0) और c-discriminant (व्यापक हल में c को variable मानकर) निकालें।
- envelope (E) दोनों में एक बार आता है: p-discriminant में E·T²·C, c-discriminant में E·N²·C³ (T = स्पर्श-बिंदु पथ, N = नोड पथ, C = कस्प पथ)।
- जो भाग differential equation को संतुष्ट करे, वही singular solution है।

4. orthogonal trajectories

Cartesian: curve-कुल का differential equation बनाएँ (constant हटाएँ), फिर dy/dx के स्थान पर −dx/dy रखें और हल करें।
polar: differential equation में r dθ/dr के स्थान पर −(1/r)(dr/dθ) रखें, यानी dr/dθ → −r² dθ/dr।
स्व-orthogonal कुल: जिसके orthogonal trajectories उसी कुल के हों (जैसे confocal conic)।

5. उच्च order linear equation

5.1 constant coefficient: f(D)y = X

complementary function (C.F.): auxiliary equation f(m) = 0 के roots:
- भिन्न real m₁, m₂: c₁e^m₁x + c₂e^m₂x।
- repeated m (k बार): (c₁ + c₂x + … + c_kx^k−1)e^mx।
- complex α ± iβ: e^αx(c₁cos βx + c₂sin βx)।
particular integral (P.I.) के नियम:
- X = e^ax: e^ax/f(a) (f(a) ≠ 0); f(a) = 0 हो तो x·e^ax/f′(a)।
- X = sin ax या cos ax: D² → −a² रखें।
- X = x^m: [f(D)]⁻¹ को D की powers में expand करें।
- X = e^axV: e^ax·[1/f(D + a)]V (shift नियम)।

5.2 Cauchy-Euler equation

xⁿy⁽ⁿ⁾ + a₁xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾ + … + a_ny = X। x = e^z, θ = d/dz रखें:

xy′ = θy; x²y″ = θ(θ − 1)y; x³y‴ = θ(θ − 1)(θ − 2)y

Legendre equation: (ax + b)ⁿy⁽ⁿ⁾ + …; ax + b = e^z रखें।

5.3 द्वितीय order, variable coefficient: y″ + Py′ + Qy = R

एक हल u ज्ञात हो: दूसरा हल

v = u ∫ (e^{−∫P dx} / u²) dx

हल पहचानने के संकेत: 1 + P + Q = 0 ⇒ e^x; 1 − P + Q = 0 ⇒ e^−x; P + Qx = 0 ⇒ x; m² + mP + Q = 0 (constant के लिए) ⇒ e^mx।
parameter-variation: C.F. = c₁y₁ + c₂y₂; W = y₁y₂′ − y₂y₁′ (Wronskian):

P.I. = −y₁∫(y₂R/W)dx + y₂∫(y₁R/W)dx

ध्यान दें: R वह है जो y″ का coefficient 1 करने के बाद दाईं ओर बचे।
अन्य विधियाँ: प्रथम derivative का निष्कासन (y = vu, u = e^{−½∫P dx}); स्वतंत्र variable का परिवर्तन।

5.4 existence और uniqueness (Picard का theorem)

dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀; आयत R: |x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b।
यदि f, R में continuous है और y में Lipschitz शर्त |f(x, y₁) − f(x, y₂)| ≤ K|y₁ − y₂| पूरी करता है (पर्याप्त: ∂f/∂y bounded और continuous), तो |x − x₀| ≤ h = min(a, b/M) पर unique हल है, जहाँ M = max|f|।
केवल f continuous हो (Peano theorem) तो हल का existence है, uniqueness नहीं।

6. Laplace transform

f(t)	L{f(t)} = F(s)	f(t)	F(s)
1	1/s	tⁿ	n!/sⁿ⁺¹
e^at	1/(s − a)	sin at	a/(s² + a²)
cos at	s/(s² + a²)	sinh at	a/(s² − a²)
cosh at	s/(s² − a²)	u(t − a)	e^−as/s
δ(t − a)	e^−as	t sin at	2as/(s² + a²)²

प्रथम shift: L{e^atf(t)} = F(s − a)। द्वितीय shift: L{f(t − a)u(t − a)} = e^−asF(s)।
derivative: L{f′} = sF − f(0); L{f″} = s²F − sf(0) − f′(0)।
integral: L{∫₀^tf} = F/s। t से गुणा: L{tf(t)} = −F′(s)। t से भाग: L{f/t} = ∫_s^∞F ds।
convolution theorem:

L{∫₀^t f(x)g(t − x)dx} = F(s)G(s)

प्रमाण की रूपरेखा: L{(f * g)} = ∫₀^∞e^−st∫₀^tf(x)g(t − x)dx dt। integration का क्रम बदलें (क्षेत्र 0 ≤ x ≤ t < ∞) और t − x = u रखें: = ∫₀^∞f(x)e^−sxdx · ∫₀^∞g(u)e^−sudu = F(s)G(s)।

integral equation (वोल्टेरा प्रकार): y(t) = f(t) + ∫₀^ty(x)k(t − x)dx ⇒ Y = F + YK ⇒ Y = F/(1 − K)।

7. Master Formula Table

प्रकार	सूत्र / विधि
exact की शर्त	∂M/∂y = ∂N/∂x
I.F. (x का function)	e^{∫(M_y − N_x)/N dx}
linear	y e^∫P = ∫Q e^∫P dx + c
Bernoulli	v = y¹⁻ⁿ
Clairaut	y = px + f(p) ⇒ y = cx + f(c); singular: x + f′(p) = 0
p-discriminant	B² − 4AC = 0 (Ap² + Bp + C = 0)
polar orthogonal trajectories	dr/dθ → −r² dθ/dr
P.I. e^ax	e^ax/f(a); f(a) = 0 ⇒ xe^ax/f′(a)
shift नियम	(1/f(D))e^axV = e^ax(1/f(D + a))V
Cauchy-Euler	x = e^z; x^kD^k = θ(θ − 1)…(θ − k + 1)
दूसरा हल	v = u∫e^−∫P/u² dx
parameter-variation	P.I. = −y₁∫y₂R/W + y₂∫y₁R/W
Picard	h = min(a, b/M); Lipschitz ⇒ unique
convolution	L{f * g} = FG
delta function	L{δ(t − a)} = e^−as

8. चार्ट: Laplace transform से IVP हल करने का क्रम

Laplace विधि differential equation को algebraic equation में बदल देती है और initial शर्तें स्वतः शामिल हो जाती हैं। delta और सोपान (step) functions के लिए यह सबसे सुविधाजनक है।

9. Mind Map

साधारण differential equation

प्रथम order

separable, exact, I.F.
linear, Bernoulli

उच्च degree

p, y, x के लिए हल
Clairaut, singular solution

constant coefficient

C.F., P.I. नियम
Cauchy-Euler

variable coefficient

दूसरा हल
parameter-variation, Picard

Laplace

shift, convolution
IVP, δ function

10. महत्वपूर्ण One-liners

n constants वाले कुल का differential equation n order का होता है।
Clairaut का व्यापक हल: p के स्थान पर c रखें।
singular solution व्यापक हल से किसी c से नहीं मिलता; प्रायः envelope होता है।
1 + P + Q = 0 ⇒ e^x एक हल है।
x = e^z से Cauchy-Euler equation constant coefficient में बदलता है।
Wronskian ≠ 0 ⇔ हल linearly independent।
L{δ(t − a)} = e^−as।
y′ = 2√y, y(0) = 0 में uniqueness विफल (Lipschitz शर्त नहीं)।

11. टिप्स एवं ट्रिक्स

गणना की तरकीबें

हर P.I. को मूल equation में रखकर जाँचें; परीक्षक एक row की जाँच को सराहते हैं।
parameter-variation से पहले y″ का coefficient 1 करें; R वही है जो अब दाईं ओर है।
variable coefficient वाले equation में पहले e^mx या polynomial को हल के रूप में आज़माएँ।
Laplace में आंशिक भिन्न से पहले हर (denominator) को पूर्ण वर्ग (s + a)² + b² में लिखें।

याद रखने की तरकीब

discriminant: "p में E·T²·C, c में E·N²·C³"। envelope (E) दोनों में एक बार।

सामान्य भूल

uniqueness के प्रश्न में केवल "f continuous है" लिखना पर्याप्त नहीं; ∂f/∂y की boundedness या Lipschitz शर्त अवश्य जाँचें।

12. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper I · 5(a) · 10 अंक

हल कीजिए: (1 − y² + y⁴/x²)(dy/dx)² − 2(y/x)(dy/dx) + y²/x² = 0।

हल

x² से गुणा कर पुनर्व्यवस्थित करें: (xp − y)² = y²p²(x² − y²)। y²p² से भाग:

(x/y − dx/dy)² = x² − y²

x को y का function मानकर x = vy रखें: dx/dy = v + y dv/dy। तब −y dv/dy = ±y√(v² − 1), यानी dv/√(v² − 1) = ∓dy।

cosh⁻¹(x/y) = c ∓ y ⇒ x = y cosh(y + c)

(cosh सम function है, इसलिए दोनों sign एक ही कुल देते हैं।) p-discriminant 4y⁴(x² − y²)/x⁴ से y = ±x और y = 0 भी equation को संतुष्ट करते हैं; y = x (p = 1) कुल का envelope है, अतः singular solution।

Q2UPSC 2025 · Paper I · 5(b) · 10 अंक

उन सभी ellipses का differential equation बनाइए जिनके axis coordinates axes के संपाती हैं।

हल

x²/a² + y²/b² = 1 (दो constant)। differentiation: 2x/a² + 2yy′/b² = 0 ⇒ yy′/x = −b²/a² (constant)।

फिर differentiation: [x(y′² + yy″) − yy′]/x² = 0।

xyy″ + xy′² − yy′ = 0

Q3UPSC 2024 · Paper I · 5(a) · 10 अंक

curve-कुल r = c(secθ + tanθ) के orthogonal trajectories ज्ञात कीजिए।

हल

ln r = ln c + ln(secθ + tanθ) ⇒ (1/r)(dr/dθ) = secθ।

dr/dθ → −r² dθ/dr: −r dθ/dr = secθ ⇒ cosθ dθ = −dr/r ⇒ sinθ = −ln r + C।

ln r + sinθ = C, यानी r = k e^−sinθ

Q4UPSC 2024 · Paper I · 5(b) · 10 अंक

Laplace transform का प्रयोग करके integral equation y(t) = cos t + ∫₀^ty(x)cos(t − x)dx हल कीजिए।

हल

convolution theorem से: Y = s/(s² + 1) + Y·s/(s² + 1) ⇒ Y(s² − s + 1)/(s² + 1) = s/(s² + 1)।

Y = s/(s² − s + 1) = [(s − ½) + ½]/[(s − ½)² + ¾]

y(t) = e^t/2[cos(√3t/2) + (1/√3)sin(√3t/2)]

Q5UPSC 2025 · Paper I · 6(a)

यदि F(s), G(s) क्रमशः f(t), g(t) के Laplace transform हैं, तो सिद्ध कीजिए कि L{∫₀^tf(x)g(t − x)dx} = F(s)G(s)। इसका प्रयोग करके y(t) = t + ∫₀^ty(x)sin(t − x)dx हल कीजिए।

हल (रूपरेखा)

प्रमाण: खंड 6 के अनुसार; integration-क्षेत्र 0 ≤ x ≤ t का चित्र बनाकर क्रम बदलें, u = t − x रखें।

हल: Y = 1/s² + Y/(s² + 1) ⇒ Y·s²/(s² + 1) = 1/s² ⇒ Y = (s² + 1)/s⁴ = 1/s² + 1/s⁴।

y(t) = t + t³/6

(जाँच: ∫₀^t(x + x³/6)sin(t − x)dx = t³/6, जो y − t के बराबर है।)

Q6UPSC 2024 · Paper I · 6(c)

(i) u(x) = −e^−x को एक हल मानकर xy″ + (x − 1)y′ − y = 0 का दूसरा हल ज्ञात कीजिए। (ii) parameter-variation से x²y″ − 2xy′ + 2y = x³ sin x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल

(i) standard form: y″ + (1 − 1/x)y′ − y/x = 0; P = 1 − 1/x, e^−∫P = xe^−x। u₁ = e^−x लें:

v = e^−x∫ xe^−x/e^−2x dx = e^−x∫xe^xdx = x − 1

दूसरा हल x − 1 (जाँच: 0 + (x − 1) − (x − 1) = 0 ✓); व्यापक हल y = c₁e^−x + c₂(x − 1)।

(ii) C.F.: m(m − 1) − 2m + 2 = 0 ⇒ m = 1, 2; y₁ = x, y₂ = x²। standard form में R = x sin x, W = x²।

u₁ = −∫x²·x sin x/x² dx = x cos x − sin x; u₂ = ∫x·x sin x/x² dx = −cos x।

P.I. = x(x cos x − sin x) − x² cos x = −x sin x; y = c₁x + c₂x² − x sin x

Q7UPSC 2025 · Paper I · 7(c)

(i) (1 + dy/dx)³ = (27/(8a))(x + y)(1 − dy/dx)³ का व्यापक और singular solution ज्ञात कीजिए। (ii) x³y‴ + 3x²y″ + xy′ + y = x log x का पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।

हल

(i) u = x + y, v = x − y रखें: du/dv = (1 + p)/(1 − p)। equation: (du/dv)³ = 27u/(8a), यानी du/dv = (3/2)(u/a)^1/3।

u^−1/3du = (3/2)a^−1/3dv ⇒ u^2/3 = a^−1/3(v + c)।

व्यापक हल: a(x + y)² = (x − y + c)³

c-discriminant: 3(x − y + c)² = 0 ⇒ x − y + c = 0 ⇒ (x + y)² = 0। x + y = 0 (p = −1) equation को संतुष्ट करता है: singular solution x + y = 0।

(ii) x = e^z: [θ(θ − 1)(θ − 2) + 3θ(θ − 1) + θ + 1]y = (θ³ + 1)y = ze^z।

C.F.: m = −1, (1 ± i√3)/2। P.I. = e^z[1/((θ + 1)³ + 1)]z = e^z(1/2)(1 − 3θ/2 + …)z = (e^z/2)(z − 3/2)।

y = c₁/x + √x[c₂cos((√3/2)log x) + c₃sin((√3/2)log x)] + (x/4)(2 log x − 3)

(P.I. की जाँच: y = (x log x)/2 − 3x/4 रखने पर बायाँ पक्ष x log x ✓।)

Q8UPSC 2024 · Paper I · 7(a)

आयत R: |x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b में dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀ के unique हल के लिए uniqueness theorem लिखिए। dy/dx = 2√y, y(1) = 0 के हल के existence और uniqueness की जाँच कीजिए; एक से अधिक हल हों तो सभी हल ज्ञात कीजिए।

हल

theorem (Picard): खंड 5.4 के अनुसार।

f = 2√y, y ≥ 0 में continuous है, अतः हल का existence है (Peano)। पर |f(x, y) − f(x, 0)|/|y − 0| = 2/√y → ∞ (y → 0⁺), यानी y = 0 के किसी भी neighbourhood में Lipschitz शर्त विफल है। अतः uniqueness की गारंटी नहीं।

हल: y ≡ 0 एक हल है। y > 0 पर dy/(2√y) = dx ⇒ √y = x − k। चूँकि dy/dx ≥ 0, y घटता नहीं; y(1) = 0 से x ≤ 1 पर y = 0।

y_k(x) = 0 (x ≤ k), (x − k)² (x > k), हर k ≥ 1 के लिए

अतः अनंत हल (y ≡ 0 सहित), uniqueness विफल।

Q9UPSC 2025 · Paper I · 8(a)

parameter-variation विधि से हल कीजिए: (x + 2)y″ − (2x + 5)y′ + 2y = (1 + x)e^x।

हल

C.F.: e^mx आज़माएँ: x(m² − 2m) + (2m² − 5m + 2) = 0 ⇒ m = 2, यानी y₁ = e^2x। linear y = x + k: −(2x + 5) + 2(x + k) = 0 ⇒ k = 5/2, यानी y₂ = 2x + 5।

R = (1 + x)e^x/(x + 2); W = 2e^2x − 2(2x + 5)e^2x = −4(x + 2)e^2x।

u₂ = ∫y₁R/W dx = −¼∫(1 + x)e^x/(x + 2)² dx = −¼·e^x/(x + 2) (क्योंकि (1 + x)/(x + 2)² = 1/(x + 2) − 1/(x + 2)²)।

u₁ = −∫y₂R/W dx = ¼∫e^−x[2 − 1/(x + 2) − 1/(x + 2)²]dx = ¼[−2e^−x + e^−x/(x + 2)]।

P.I. = u₁y₁ + u₂y₂ = ¼e^x[−2 + (1 − 2x − 5)/(x + 2)] = −e^x

y = c₁e^2x + c₂(2x + 5) − e^x

(जाँच: y = −e^x रखने पर e^x(−x − 2 + 2x + 5 − 2) = (x + 1)e^x ✓।)

Q10UPSC 2024 · Paper I · 8(a)

Laplace transform से हल कीजिए: y″ + 2y′ + 5y = δ(t − 2), y(0) = 0, y′(0) = 0।

हल

(s² + 2s + 5)Y = e^−2s ⇒ Y = e^−2s/[(s + 1)² + 4]।

L⁻¹{1/((s + 1)² + 4)} = ½e^−tsin 2t; द्वितीय shift से:

y(t) = ½e^−(t−2)sin 2(t − 2) · u(t − 2)

यानी t < 2 पर y = 0 (आवेग आने से पहले तंत्र विश्राम में), और t ≥ 2 पर अवमंदित oscillation।

Q11अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

Clairaut equation y = px + a/p का व्यापक और singular solution ज्ञात कीजिए।

हल

व्यापक हल: y = cx + a/c (सरल रेखाओं का कुल)।

singular solution: x − a/p² = 0 ⇒ p = √(a/x); equation में रखने पर y = √(ax) + √(ax) = 2√(ax), यानी y² = 4ax (परवलय, जो इन रेखाओं का envelope है)।

13. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

प्रथम order: exact और I.F. के चार नियम; linear; Bernoulli; polar orthogonal trajectories।
उच्च degree: p/y/x के लिए हल; Clairaut और substitution; discriminant से singular solution।
linear: C.F. के तीन प्रकार; P.I. के नियम; Cauchy-Euler; दूसरा हल; parameter-variation; Picard theorem।
Laplace: तालिका; दो shift; convolution (प्रमाण सहित); integral equation; δ function।

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