1. अध्याय एक नज़र में
Paper I के Section B के तीन खंड इस अध्याय में हैं। हर वर्ष इनसे 80-100 अंक के प्रश्न आते हैं:
- dynamics: rectilinear motion, simple harmonic motion (SHM), plane में गति, projectile, व्यवरुद्ध गति (constrained motion), कार्य और energy, energy conservation, Kepler के नियम, central force के अधीन कक्षाएँ।
- statics: particles के तंत्र का equilibrium; कार्य और potential energy; friction; साधारण catenary; virtual work का सिद्धांत; equilibrium का stability; तीन dimensions में बलों का equilibrium।
- vector analysis: scalar और vector field; vector का differentiation; curvature और torsion, Serret-Frenet सूत्र; gradient, divergence, curl; Gauss, Stokes और Green theorem।
2025 में Kepler का द्वितीय नियम, catenary, gradient की सह-coplanarity, elastic string, directional derivative, मैक्सवेल equation, sphere का stability, Green और Gauss theorem, और vertical वृत्त में गति पूछे गए। 2024 में parallel hexahedron के volume की परिवर्तन-दर, hemisphere का stability, curvature-torsion, virtual work, SHM, tensions का योग, Stokes और Gauss theorem, और central orbit आए।
2. dynamics
2.1 rectilinear motion और SHM
- v dv/dx = a; v = dx/dt। variable acceleration में a को x के function के रूप में लेकर v dv/dx = f(x) का integration।
- SHM: ẍ = −ω²x; x = A cos(ωt + ε); v² = ω²(A² − x²); time period 2π/ω; maximum velocity Aω केंद्र पर; maximum acceleration Aω² extremum पर।
- elastic string (हुक का नियम): tension T = λ(extension)/(स्वाभाविक लंबाई), λ = elasticity modulus। string केवल extension पर tension देती है; ढीली होने पर particle स्वतंत्र रूप से gravity के अधीन चलता है।
- भारी particle को elastic string से लटकाने पर equilibrium-extension e = mga/λ; उसके चारों ओर SHM, ω² = λ/(ma) = g/e।
2.2 plane में गति
- vertical वृत्त में गति (radius a, निम्नतम बिंदु पर velocity u, θ निम्नतम बिंदु से): v² = u² − 2ag(1 − cosθ)। प्रतिक्रिया या tension:
- u² ≤ 2ag: निचले semicircle में oscillation; u² ≥ 5ag: पूर्ण वृत्त; 2ag < u² < 5ag: ऊपरी semi में वृत्त छोड़कर projectile।
- projectile: range R = u² sin2α/g; महत्तम ऊँचाई u² sin²α/(2g); उड्डयन काल 2u sinα/g।
2.3 central कक्षाएँ और Kepler के नियम
- central force में r²θ̇ = h (constant), यानी क्षेत्रीय velocity h/2 constant (Kepler का द्वितीय नियम)।
- u-θ (बिने) equation:
- energy equation: v² = −2∫P dr + C।
- inverse वर्ग नियम P = μ/r²: orbit conic l/r = 1 + e cosθ, h² = μl। v² = μ(2/r − 1/a) (ellipse)।
- Kepler के नियम: (1) ग्रह सूर्य को एक focus पर रखकर ellipse में; (2) समान समय में समान area; (3) T² ∝ a³, T = 2πa3/2/√μ।
- अपसाइड (Apse): जहाँ du/dθ = 0, velocity radius पर perpendicular।
- समय की गणना: dt = dθ/(hu²), या Kepler के द्वितीय नियम से area के अनुपात में।
3. statics
- friction: सीमांत friction F = μR; friction कोण λ, tanλ = μ।
- साधारण catenary (uniform भारी string, weight w प्रति unit लंबाई):
- दो बिंदुओं के बीच catenary का भाग (horizontal दूरी a, लंबाई l, ऊर्ध्व अंतर d): l² − d² = 4c² sinh²(a/2c) = 2c²[cosh(a/c) − 1]। यह vertex की स्थिति पर निर्भर नहीं।
- virtual work का सिद्धांत: equilibrium में किसी भी संभव (कल्पित, संगत) सूक्ष्म विस्थापन पर बाहरी बलों का कुल कार्य शून्य। smooth contact, inextensible डोरियाँ और कठोर जोड़ कोई कार्य नहीं करते। string/rod में tension T के लिए लंबाई में वृद्धि δl पर कार्य −Tδl।
- equilibrium का stability: potential energy का minimum ⇒ स्थायी।
- लुढ़कने (rocking) वाले equilibrium का stability (h = contact बिंदु से centre of gravity की ऊँचाई, ρ1 = body की, ρ2 = fixed surface की curvature-radius):
- plane fixed surface (ρ2 = ∞): h < ρ1। body का plane face (ρ1 = ∞): 1/h > 1/ρ2।
- ठोस hemisphere का centre of gravity plane face से 3r/8 पर।
4. vector analysis
4.1 curve: curvature, torsion और Serret-Frenet सूत्र
- unit स्पर्श t = dr/ds; मुख्य normal n; द्वि-normal b = t × n।
- plane curve ⇔ τ = 0। सरल रेखा ⇔ κ = 0।
4.2 gradient, divergence, curl
- ∇φ = (φx, φy, φz): surface φ = c पर normal; directional derivative â दिशा में = ∇φ · â।
- div F = ∇·F; curl F = ∇ × F; ∇²φ = φxx + φyy + φzz।
- सर्वसमिकाएँ: curl(grad φ) = 0; div(curl F) = 0; ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) − ∇²F; ∇·(φF) = φ∇·F + F·∇φ।
- F irrotational ⇔ curl F = 0 ⇔ F = ∇φ। F परिनलिकीय (solenoidal) ⇔ div F = 0।
- तीन vector सह-planar ⇔ scalar triple product शून्य। तीन functions के gradient सह-planar ⇔ function परस्पर functional रूप से निर्भर (Jacobian शून्य)।
4.3 integral theorem
- surface z = f(x, y) पर upward: n̂ dS = (−fx, −fy, 1) dx dy।
- boundary-curve की दिशा: ऊपर से देखने पर anticlockwise (counterclockwise), जब normal ऊपर हो (दाएँ हाथ का नियम)।
5. Master Formula Table
| विषय | सूत्र |
|---|---|
| SHM | v² = ω²(A² − x²); T = 2π/ω |
| elastic string | T = λx/a; equilibrium-extension mga/λ; ω² = λ/(ma) |
| radial-अनुप्रस्थ | r̈ − rθ̇²; (1/r)d(r²θ̇)/dt |
| vertical वृत्त | R = (m/a)(u² − 2ag + 3ag cosθ); पूर्ण वृत्त u² ≥ 5ag |
| central orbit | h²(u″ + u) = P/u²; v² = h²(u′² + u²) |
| Kepler-3 | T = 2πa3/2/√μ |
| catenary | y = c cosh(x/c); s = c sinh(x/c); y² = c² + s²; T = wy |
| catenary का भाग | l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1] |
| stability (ऊपर) | 1/h > 1/ρ1 + 1/ρ2 |
| stability (अंदर) | 1/h > 1/ρ1 − 1/ρ2 |
| Serret-Frenet | t′ = κn; n′ = τb − κt; b′ = −τn |
| curvature, torsion | κ = |r′ × r″|/|r′|³; τ = [r′r″r‴]/|r′ × r″|² |
| directional derivative | ∇φ · â |
| curl curl | ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) − ∇²F |
| Green, Stokes, Gauss | खंड 4.3 के अनुसार |
6. चार्ट: Serret-Frenet त्रय
7. Mind Map
- SHM, elastic string
- v dv/dx
- vertical वृत्त
- central orbit, Kepler
- catenary, friction
- virtual work, stability
- κ, τ
- Serret-Frenet
- grad, div, curl
- Green, Stokes, Gauss
8. महत्वपूर्ण One-liners
- central force में r²θ̇ = h constant (angular momentum conservation)।
- vertical वृत्त में पूर्ण चक्कर के लिए u² ≥ 5ag।
- vertical वृत्त में किसी diameter के सिरों पर tensions का योग constant होता है।
- catenary में tension T = wy (directrix से ऊँचाई के अनुपात में)।
- ठोस hemisphere का centre of gravity: plane face से 3r/8।
- plane curve की torsion τ = 0।
- curl(grad φ) = 0; div(curl F) = 0।
- directional derivative का maximum मान |∇φ|, ∇φ की दिशा में।
9. टिप्स एवं ट्रिक्स
- हर dynamics प्रश्न में चित्र बनाएँ: बल, दिशा, कोण का संदर्भ (θ कहाँ से मापा)।
- theorem सत्यापन (Green, Stokes, Gauss) में दोनों पक्ष अलग-अलग निकालें और अंत में बराबरी दिखाएँ; boundary के हर भाग की दिशा लिखें।
- virtual work में पहले एक ही variable (कोण θ) के terms में सभी दूरियाँ लिखें, फिर δ लें।
Serret-Frenet: "t से n, n से b और t, b से उल्टा n", यानी coefficient matrix (0, κ, 0; −κ, 0, τ; 0, −τ, 0) skew-symmetric है।
stability सूत्र में "ऊपर रखा" (+) और "अंदर रखा" (−) का sign उलटना। concave कटोरे के अंदर 1/ρ1 − 1/ρ2 लें।
10. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल
सिद्ध कीजिए कि पृथ्वी को अपनी orbit के उस आधे भाग को पार करने में, जो लघु axis द्वारा अलग किया गया है और सूर्य से दूर है, आधे वर्ष से दो दिन अधिक लगते हैं (सूर्य दीर्घवृत्ताकार orbit की focus पर; उत्केंद्रता 1/60)।
हल
Kepler के द्वितीय नियम से समय ∝ सूर्य (focus S) से radius द्वारा घेरा गया area। दूर वाला semi-भाग लघु axis BB′ से अलग है; S से घेरा गया area = semi-ellipse + त्रिभुज SBB′:
अतः समय = T(1/2 + e/π)। अतिरिक्त समय = Te/π = 365.25/(60π) ≈ 1.94 ≈ 2 दिन।
A और B एक ही horizontal रेखा पर 2a दूरी पर हैं। दो समान भारी डोरियाँ AO और BO, O पर बँधी हैं। प्रत्येक की लंबाई l है और O, AB से d नीचे है। दिखाइए कि catenary का parameter c, l² − d² = 2c²[cosh(a/c) − 1] से दिया जाता है।
हल
symmetry से AO एक catenary y = c cosh(x/c) का भाग है जिसकी horizontal लंबाई a है। मान लें O पर x = x1, A पर x2 = x1 + a:
l² − d² = c²[−2 + 2(cosh x1/c · cosh x2/c − sinh x1/c · sinh x2/c)] = 2c²[cosh((x2 − x1)/c) − 1]।
यदि u = x + y + z, v = x² + y² + z², w = xy + yz + zx, तो दिखाइए कि grad u, grad v, grad w सह-planar हैं।
हल
∇u = (1, 1, 1); ∇v = 2(x, y, z); ∇w = (y + z, z + x, x + y) = (x + y + z)(1, 1, 1) − (x, y, z)।
अतः ∇w = (x + y + z)∇u − ½∇v, यानी तीनों linearly dependent; scalar triple product [∇u, ∇v, ∇w] = 0। इसलिए सह-planar। (कारण: u² = v + 2w, यानी तीनों function functional रूप से संबंधित।)
समय t पर parallel hexahedron के सह-कोरीय किनारे α = t î + (t + 1)ĵ + (2t + 1)k̂, β = 2t î + (3t − 1)ĵ + t k̂, γ = î + 3t ĵ + k̂ हैं। α और γ से बने parallel चतुर्भुज के vector area की परिवर्तन-दर, और t = 1 पर volume की परिवर्तन-दर ज्ञात कीजिए।
हल
vector area A = α × γ = (−6t² − 2t + 1, t + 1, 3t² − t − 1)।
volume V = [α β γ] = 9t³ + 2t² − 3t + 1 (determinant-विस्तार से)।
समान radius वाला ठोस अर्धगोला एक ठोस sphere पर equilibrium में है। दोनों स्थितियों में stability ज्ञात कीजिए: (i) hemisphere का curve surface sphere पर, (ii) plane surface sphere पर।
हल
स्थिर convex sphere (ρ2 = r) के ऊपर stability की शर्त: 1/h > 1/ρ1 + 1/ρ2।
- (i) ρ1 = r; G, plane face से 3r/8, अतः contact से h = r − 3r/8 = 5r/8। 1/h = 1.6/r < 2/r ⇒ अस्थायी।
- (ii) ρ1 = ∞; h = 3r/8। 1/h = 2.67/r > 1/r ⇒ स्थायी।
(i) plane curve r(t) = f(t)î + g(t)ĵ के लिए दिखाइए कि κ = |f′g″ − g′f″|/(f′² + g′²)3/2; torsion τ का मान क्या है? (ii) दिखाइए कि किसी curve के दो क्रमागत बिंदुओं पर मुख्य normal intersection नहीं करते, जब तक τ = 0 न हो।
हल
(i) r′ = (f′, g′, 0), r″ = (f″, g″, 0); r′ × r″ = (0, 0, f′g″ − g′f″)। κ = |r′ × r″|/|r′|³ से सूत्र मिलता है। r‴ भी xy-plane में है, अतः [r′, r″, r‴] = 0 ⇒ τ = 0।
(ii) P (s) और Q (s + δs) पर normal n और n + δn; PQ ≈ t δs। दोनों रेखाएँ intersection करें ⇔ t, n, n′ सह-planar, यानी [t, n, n′] = 0। Serret-Frenet से n′ = τb − κt, अतः [t, n, τb − κt] = τ[t, n, b] = τ। इसलिए intersection ⇔ τ = 0।
स्वाभाविक लंबाई a वाली elastic string का एक सिरा O पर स्थिर है और दूसरे पर भारी particle बँधा है। string को vertical नीचे C तक खींचा जाता है जहाँ उसकी लंबाई 4a है, फिर छोड़ा जाता है। यदि elasticity modulus particle के weight के बराबर है, तो दिखाइए कि particle √(a/g)(2√3 + 4π/3) समय में C पर लौटेगा।
हल
λ = mg ⇒ equilibrium-extension a; equilibrium-स्थिति O से 2a नीचे। तनी string में SHM, ω² = g/a, amplitude 2a (C equilibrium से 2a नीचे)।
string तब ढीली होती है जब लंबाई a हो, यानी equilibrium से a ऊपर: x = 2a cosωt = −a ⇒ ωt1 = 2π/3, t1 = (2π/3)√(a/g)। वहाँ velocity v = ω√(4a² − a²) = √(3ga)।
स्वतंत्र गति (केवल gravity): ऊपर जाकर लौटने में 2v/g = 2√(3a/g)। फिर SHM से C तक t1।
(i) φ = x²y²z² का बिंदु (1, 1, −1) पर, curve x = et, y = 2 sin t + 1, z = t − cos t की t = 0 पर स्पर्श-रेखा की दिशा में directional derivative का absolute मान ज्ञात कीजिए। (ii) यदि ∇·E = 0, ∇·H = 0, ∇ × E = −∂H/∂t, ∇ × H = ∂E/∂t, तो दिखाइए कि ∇²H = ∂²H/∂t² और ∇²E = ∂²E/∂t²।
हल
(i) ∇φ = (2xy²z², 2x²yz², 2x²y²z) = (2, 2, −2) पर। r′(0) = (e⁰, 2cos0, 1 + sin0) = (1, 2, 1), unit (1, 2, 1)/√6।
(ii) ∇ × (∇ × H) = ∇(∇·H) − ∇²H = −∇²H। साथ ही ∇ × (∇ × H) = ∇ × (∂E/∂t) = ∂(∇ × E)/∂t = −∂²H/∂t²। अतः ∇²H = ∂²H/∂t²।
इसी प्रकार ∇ × (∇ × E) = −∇²E = ∇ × (−∂H/∂t) = −∂(∇ × H)/∂t = −∂²E/∂t², अतः ∇²E = ∂²E/∂t²।
छह हल्की rods (प्रत्येक लंबाई l) से बना सम tetrahedron smooth horizontal plane पर है। weight W और radius r का छल्ला तिरछी भुजाओं पर टिका है। virtual work से किसी horizontal भुजा में प्रतिबल (stress) ज्ञात कीजिए।
हल
तिरछी भुजाएँ vertical से θ कोण बनाती हैं (geometry को θ से बदलने दें)। base-भुजा x = √3 l sinθ; vertex की ऊँचाई l cosθ।
छल्ला axis पर horizontal; तिरछी भुजा पर vertex से s दूरी पर axis से दूरी s sinθ = r ⇒ vertex से गहराई r cotθ। छल्ले की ऊँचाई z = l cosθ − r cotθ।
virtual work (horizontal rods में tension T; smooth plane की प्रतिक्रियाएँ कार्य नहीं करतीं): −W δz − 3T δx = 0।
सम tetrahedron में sinθ = 1/√3, cosθ = √(2/3), cosec²θ = 3:
(T > 0 tension, T < 0 हो तो दबाव/thrust।)
SHM करते particle की दो स्थितियों में velocity u, v और acceleration f1, f2 हैं। k के किस मान के लिए दोनों स्थितियों की दूरी k(v² − u²) है? दिखाइए कि amplitude [(u² − v²)(u²f2² − v²f1²)]1/2/(f2² − f1²) है।
हल
fi = ω²xi; u² = ω²(A² − x1²), v² = ω²(A² − x2²)। अतः u² − v² = ω²(x2² − x1²) और f2² − f1² = ω⁴(x2² − x1²) ⇒ ω² = (f2² − f1²)/(u² − v²)।
- केंद्र के एक ही ओर: दूरी = x2 − x1 = (f2 − f1)/ω² = (u² − v²)/(f1 + f2) ⇒ k = −1/(f1 + f2)।
- विपरीत ओर: दूरी = (f1 + f2)/ω² = (u² − v²)/(f2 − f1) ⇒ k = 1/(f1 − f2)।
amplitude: A² = x1² + u²/ω² = (f1² + u²ω²)/ω⁴। ω² रखकर सरल करने पर:
एक ठोस sphere अपनी radius से दुगुनी radius वाले स्थिर, खुरदरे अर्धगोलाकार कटोरे के अंदर टिका है। sphere के सबसे ऊँचे बिंदु पर कितना भी बड़ा weight जोड़ा जाए, दिखाइए कि equilibrium स्थायी है।
हल
concave कटोरे के अंदर stability: 1/h > 1/ρ1 − 1/ρ2 = 1/r − 1/(2r) = 1/(2r), यानी h < 2r।
sphere का weight w केंद्र पर (ऊँचाई r), जोड़ा गया weight W vertex पर (ऊँचाई 2r):
अतः W कितना भी बड़ा हो, h < 2r रहता है और equilibrium स्थायी है।
∮C[(xy + y²)dx + x²dy] के लिए plane में Green theorem सत्यापित कीजिए, जहाँ C, y = x और y = x² से bounded region की boundary है।
हल
field-integral: ∂N/∂x − ∂M/∂y = 2x − (x + 2y) = x − 2y।
रेखा-integral: y = x² पर (0,0) से (1,1): ∫01(x³ + x⁴ + 2x³)dx = 19/20। y = x पर (1,1) से (0,0): ∫103x²dx = −1। योग = −1/20 ✓।
लंबाई l की हल्की inextensible string से लटका भारी particle vertical plane में पूर्ण चक्कर लगाता है। दिखाइए कि किसी भी diameter के सिरों पर tensions का योग constant है।
हल
निम्नतम बिंदु से θ पर: T(θ) = (m/l)(u² − 2gl + 3gl cosθ)। diameter के दूसरे सिरे पर θ + π, cos(θ + π) = −cosθ:
Stokes theorem लिखिए और F = xy î + yz ĵ + zx k̂ के लिए उसे surface S पर सत्यापित कीजिए, जो cylinder z = 1 − x² (0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2) का upward भाग है।
हल
∇ × F = (−y, −z, −x); n̂ dS = (2x, 0, 1) dx dy।
boundary (ऊपर से anticlockwise):
- y = −2, x: 0 → 1 (z = 1 − x²): ∫(−2x − 2x² + 2x⁴)dx = −19/15।
- x = 1, z = 0, y: −2 → 2: 0।
- y = 2, x: 1 → 0: −∫01(2x − 2x² + 2x⁴)dx = −11/15।
- x = 0, z = 1, y: 2 → −2: ∫y dy = 0।
योग = −30/15 = −2 ✓।
F = (x² − yz)î + (y² − zx)ĵ + (z² − xy)k̂ के लिए आयताकार parallel hexahedron 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c पर Gauss divergence theorem सत्यापित कीजिए।
हल
∇·F = 2(x + y + z)। ∭2(x + y + z)dV = 2[(a²/2)bc + (b²/2)ca + (c²/2)ab] = abc(a + b + c)।
surface: x = a: ∬(a² − yz)dy dz = a²bc − b²c²/4; x = 0 (n = −î): +b²c²/4। x-फलकों का योग a²bc। इसी प्रकार y-face b²ca, z-face c²ab। कुल abc(a + b + c) ✓।
Gauss divergence theorem से ∬S(y²î + xz³ĵ + (z − 1)²k̂)·n̂ dS का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ field cylinder x² + y² = 16 और plane z = 1, z = 5 से bounded है।
हल
∇·F = 0 + 0 + 2(z − 1)।
एक particle को vertical plane में वृत्ताकार अनुप्रस्थ-काट वाले स्थिर smooth cylinder के अंदर निम्नतम बिंदु से horizontal velocity u से प्रक्षेपित किया जाता है। दिखाइए: (i) u² ≤ 2ag पर निचले आधे भाग में oscillation; (ii) u² ≥ 5ag पर पूर्ण circular गति; (iii) 2ag < u² < 5ag पर particle horizontal से α कोण बनाती स्पर्श-दिशा में curve छोड़ता है, जहाँ cosα = (u² − 2ag)/(3ag)।
हल
v² = u² − 2ag(1 − cosθ); R = (m/a)(u² − 2ag + 3ag cosθ)।
- (i) v = 0 जहाँ cosθ = 1 − u²/(2ag) ≥ 0 ⇔ u² ≤ 2ag (θ ≤ π/2)। वहाँ R = (m/a)(ag − u²/2) ≥ 0, अतः particle contact में रहकर लौटता है।
- (ii) vertex (θ = π) पर R ≥ 0 ⇔ u² − 5ag ≥ 0।
- (iii) R = 0 जहाँ cosθ = −(u² − 2ag)/(3ag) < 0 (ऊपरी semi)। वहाँ v² = (u² − 2ag)/3 > 0, अतः particle non-zero velocity से स्पर्श-दिशा में निकलता है। tangent का horizontal से कोण α = π − θ, अतः cosα = −cosθ = (u² − 2ag)/(3ag)।
एक particle central acceleration μ(3/r³ + d²/r⁵) से गति करता है, जिसे दूरी d से 45° के कोण पर उसी दूरी पर circular velocity के बराबर velocity से प्रक्षेपित किया गया। सिद्ध कीजिए कि बल-केंद्र तक पहुँचने का समय (d²/√(2μ))(2 − π/2) है।
हल
P(d) = 4μ/d³ ⇒ circular velocity² = Pd = 4μ/d²; h = d·(2√μ/d)·sin45° = √(2μ)।
energy: v² = μ(3u² + d²u⁴/2) + C; r = d पर C = μ/(2d²)। v² = h²(u′² + u²) = 2μ(u′² + u²) से:
dt = dθ/(hu²) = 2d du/[h u²(1 + d²u²)]; केंद्र की ओर u: 1/d → ∞:
सिद्ध कीजिए कि F = (2xy + z³)î + x²ĵ + 3xz²k̂ irrotational है, इसका scalar potential ज्ञात कीजिए, और (1, −2, 1) से (3, 1, 4) तक किए गए कार्य की गणना कीजिए।
हल
∇ × F = (0 − 0, 3z² − 3z², 2x − 2x) = 0 ⇒ irrotational।
φx = 2xy + z³ ⇒ φ = x²y + xz³ + g(y, z); φy = x² ⇒ gy = 0; φz = 3xz² ⇒ gz = 0। φ = x²y + xz³।
11. Quick Revision Summary
- dynamics: SHM और elastic string (ढीली होने पर मुक्त गति); vertical वृत्त के तीन मामले; बिने equation, energy, समय; Kepler के नियम।
- statics: catenary सूत्र; virtual work (एक variable में लिखें); stability की दो शर्तें; hemisphere का G = 3r/8।
- vector: Serret-Frenet; κ, τ सूत्र; directional derivative; curl curl identity; Green, Stokes, Gauss का सत्यापन।