Algebra: Groups, Rings and Fields — UPSC Mathematics Optional

1. अध्याय एक नज़र में

Paper II का पहला खंड modern algebra (Modern / Abstract Algebra) है। इसके प्रश्न प्रायः "सिद्ध कीजिए" प्रकार के होते हैं, जिनमें स्पष्ट तर्क से पूरे अंक मिलते हैं। सिलेबस:

group: group, subgroup, cyclic group, coset, Lagrange theorem, normal subgroup, quotient group, group homomorphism, fundamental isomorphism theorem, permutation group, Cayley theorem।
ring: ring, उपवलय, ideal, ring homomorphism; integral domain, principal ideal domain (PID), Euclidean domain (ED), unique factorisation domain (UFD)।
field: field, quotient field (quotient field / field of fractions)।

2025 में H ∩ K ≠ {e} (order √|G| से अधिक), छह elements वाले non-abelian group में xy = yx², ℤ[i] में 3 का irreducible होना, और ℤ[x] में ⟨x⟩ का prime पर maximal न होना पूछे गए। 2024 में mn order के group में m order का अधिक से अधिक एक subgroup, abelian group की homomorphic image, और फिर ℤ[x] में ⟨x⟩ आया।

2. group और subgroup

group (G, *): closed, associativity, तत्समक e, हर element का inverse। commutative हो तो abelian।
उदाहरण: (ℤ, +); (ℤ_n, + mod n); U(n) = {a : gcd(a, n) = 1} multiplication mod n में, |U(n)| = φ(n); S_n (|S_n| = n!); द्वितल group D_n (|D_n| = 2n); GL(n, ℝ)।
element की order o(a): सबसे छोटा धन n जिससे aⁿ = e।
- o(a^k) = o(a)/gcd(k, o(a))।
- o(a) = o(a⁻¹); o(ab) = o(ba)।
- यदि हर element की order 2 (e के अलावा) हो, तो G abelian।
subgroup test: H ≠ ∅ और a, b ∈ H ⇒ ab⁻¹ ∈ H (एक-चरण test)। finite H के लिए केवल संवृतता पर्याप्त।
HK का आकार:

|HK| = |H||K| / |H ∩ K|

HK subgroup है ⇔ HK = KH (उदाहरण: यदि H या K normal है)।
केंद्र Z(G) = {a : ax = xa ∀x}; केंद्रक (centralizer) C(a)।

3. cyclic group, coset और Lagrange theorem

cyclic group G = ⟨a⟩: हर cyclic group abelian; cyclic group का हर subgroup cyclic।
n order के cyclic group में: जनकों की संख्या φ(n); n के हर divisor d के लिए d order का ठीक एक subgroup।
हर prime order p का group cyclic (और abelian) है।
coset: aH = {ah : h ∈ H}। सभी बाएँ coset समान आकार के और परस्पर disjoint; G का विभाजन करते हैं।
Lagrange theorem: finite G के हर subgroup H के लिए |H| विभाजित करता है |G| को; index [G : H] = |G|/|H|।
corollary: o(a) | |G|; a^|G| = e; फ़र्मा (a^p−1 ≡ 1 mod p); Euler (a^φ(n) ≡ 1 mod n)।
ध्यान दें: Lagrange का converse सत्य नहीं: A₄ (order 12) में order 6 का subgroup नहीं।

4. normal subgroup, quotient group और homomorphism

normal subgroup N ⊴ G: gNg⁻¹ = N सभी g के लिए (या gN = Ng)। abelian group का हर subgroup normal; index 2 वाला हर subgroup normal।
quotient group G/N = {gN}, संक्रिया (aN)(bN) = abN; |G/N| = |G|/|N|।
homomorphism φ(ab) = φ(a)φ(b): φ(e) = e′; φ(a⁻¹) = φ(a)⁻¹; ker φ ⊴ G; φ one-one ⇔ ker φ = {e}।
प्रथम isomorphism theorem: G/ker φ ≅ φ(G)।
द्वितीय: H ≤ G, N ⊴ G ⇒ HN/N ≅ H/(H ∩ N)। तृतीय: N ⊆ K, दोनों normal ⇒ (G/N)/(K/N) ≅ G/K।
homomorphic image में conserved गुण: abelian, cyclic। (converse सत्य नहीं।)

5. permutation group और Cayley theorem

हर permutation disjoint चक्रों (disjoint cycles) का product; permutation की order = cycle-लंबाइयों का LCM।
हर cycle transpositions का product: (a₁a₂…a_k) = (a₁a_k)…(a₁a₂) (k − 1 transposition)।
सम और odd permutation: A_n (even permutation) ⊴ S_n, |A_n| = n!/2।
Cayley theorem: हर group किसी permutation group के isomorphic है। प्रमाण: g ↦ T_g, T_g(x) = gx; यह G से Sym(G) में one-one homomorphism है।
छह order के group: ℤ₆ (abelian) या S₃ ≅ D₃ (non-abelian), जहाँ o(x) = 3, o(y) = 2, yxy⁻¹ = x⁻¹।

6. ring, ideal और domain

ring (R, +, ·): (R, +) abelian group, multiplication associativity, वितरण नियम।
integral domain: commutative, 1 सहित, शून्य-divisor रहित (ab = 0 ⇒ a = 0 या b = 0)। field: हर non-zero element invertible। हर finite integral domain field है; ℤ_n field ⇔ n prime।
ideal: I, (R, +) का subgroup और rI ⊆ I, Ir ⊆ I।
prime ideal: ab ∈ P ⇒ a ∈ P या b ∈ P। maximal ideal: M ⊊ R, और M ⊆ J ⊆ R ⇒ J = M या R।
fundamental परिणाम (commutative ring, 1 सहित):

R/P integral domain ⇔ P prime; R/M field ⇔ M maximal; हर maximal ideal prime

ring homomorphism: φ(a + b) = φ(a) + φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b); ker φ ideal; R/ker φ ≅ φ(R)।
irreducible: अ-unit (non-unit), और a = bc ⇒ b या c unit। prime element: p | ab ⇒ p | a या p | b। prime ⇒ irreducible; PID/UFD में दोनों समान।
domains का hierarchy:

field ⊂ Euclidean domain ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ integral domain

उदाहरण: ℤ, F[x], ℤ[i] (Gaussian integers, norm N(a + bi) = a² + b²) Euclidean हैं। ℤ[x] UFD है पर PID नहीं (⟨2, x⟩ मुख्य नहीं)। ℤ[√−5] UFD नहीं: 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)।
norm-विधि (ℤ[i], ℤ[√−d]): N(αβ) = N(α)N(β); α unit ⇔ N(α) = 1। irreducibility सिद्ध करने में सबसे उपयोगी।
Eisenstein norm: यदि prime p सभी coefficient (अग्रणी छोड़कर) विभाजित करे, अग्रणी को नहीं, और p² constant term को नहीं, तो polynomial ℚ पर irreducible।
quotient field: हर integral domain D एक सबसे छोटे field (a/b के तुल्यता वर्ग) में अंतःस्थापित होता है; ℤ का quotient field ℚ।

7. Master Formula Table

विषय	सूत्र / परिणाम
element की degree की order	o(a^k) = o(a)/gcd(k, o(a))
HK का आकार	\|HK\| = \|H\|\|K\|/\|H ∩ K\|
Lagrange	\|H\| divides \|G\|; [G : H] = \|G\|/\|H\|
cyclic group के generator	φ(n)
Euler function	φ(n) = n Π(1 − 1/p)
permutation की order	cycle-लंबाइयों का LCM
groups के आकार	\|S_n\| = n!; \|A_n\| = n!/2; \|D_n\| = 2n
quotient group	\|G/N\| = \|G\|/\|N\|
प्रथम isomorphism	G/ker φ ≅ φ(G); R/ker φ ≅ φ(R)
prime / maximal	R/P domain; R/M field
Gaussian norm	N(a + bi) = a² + b²; N(αβ) = N(α)N(β)
unit (ℤ[i])	±1, ±i
hierarchy	field ⊂ ED ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ ID

8. चार्ट: domains का hierarchy

हर field Euclidean, हर Euclidean domain PID, हर PID UFD है। हर स्तर का converse असत्य है, और कोष्ठक में दिए उदाहरण अगले भीतरी स्तर में नहीं आते।

9. Mind Map

modern algebra

group

subgroup, order
cyclic, φ(n)

Lagrange

coset
|HK| सूत्र

homomorphism

normal, quotient
isomorphism theorem

permutation

cycle, A_n
Cayley theorem

ring

prime, maximal
ED, PID, UFD, norm

10. महत्वपूर्ण One-liners

prime order का हर group cyclic है।
cyclic group का हर subgroup cyclic है।
index 2 का हर subgroup normal है।
Lagrange का converse A₄ में विफल।
सबसे छोटा non-abelian group S₃ (order 6)।
ℤ_n field ⇔ n prime।
हर finite integral domain field है।
ℤ[x] में ⟨x⟩ prime पर maximal नहीं; ⟨2, x⟩ maximal।
ℤ[√−5] UFD नहीं: 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)।

11. टिप्स एवं ट्रिक्स

प्रमाण-लेखन

"दिखाइए कि अधिक से अधिक एक..." वाले प्रश्नों में विरोधाभास: दो मान लें और |HK| सूत्र से |G| से बड़ा आकार निकालें।
irreducibility के लिए norm का प्रयोग करें: N(α)N(β) = N(दिया element), फिर देखें कि intermediate norm संभव है या नहीं।
"P prime पर maximal नहीं" के लिए R/P का स्वरूप पहचानें (domain है पर field नहीं)।

याद रखने की तरकीब

hierarchy: "क्षे-यू-मु-अ-पू" (field, Euclidean, मुख्य ideal, unique factorisation, पूर्णांकीय)।

सामान्य भूल

HK को सदैव subgroup मान लेना। सूत्र |HK| = |H||K|/|H ∩ K| HK के set के रूप में सत्य है, subgroup होना आवश्यक नहीं।

12. PYQ-आधारित प्रश्न एवं हल

Q1UPSC 2025 · Paper II · 1(a) · 10 अंक

group G के subgroup H और K ऐसे हैं कि o(H) > √o(G) और o(K) > √o(G)। दिखाइए कि H ∩ K ≠ {e}।

हल

मान लें H ∩ K = {e}। HK ⊆ G और

|HK| = |H||K|/|H ∩ K| = |H||K| > √o(G)·√o(G) = o(G)

पर HK ⊆ G होने से |HK| ≤ o(G), विरोधाभास। अतः H ∩ K ≠ {e}।

Q2UPSC 2025 · Paper II · 1(b) · 10 अंक

G = {e, x, x², y, yx, yx²} एक non-abelian group है जिसमें o(x) = 3, o(y) = 2। दिखाइए कि xy = yx²।

हल

xy ∈ G, अतः वह छह में से एक है:

xy = e ⇒ y = x⁻¹ = x², पर o(x²) = 3 ≠ 2 ✗।
xy = x ⇒ y = e ✗; xy = x² ⇒ y = x ✗; xy = y ⇒ x = e ✗।
xy = yx ⇒ x और y commutative; G का हर element इन्हीं से बना है, अतः G abelian ✗।

शेष विकल्प: xy = yx²। (यही S₃ का संबंध yxy⁻¹ = x⁻¹ है।)

Q3UPSC 2024 · Paper II · 1(a) · 10 अंक

मान लीजिए G order mn का finite group है, जहाँ m, n prime हैं और m > n। दिखाइए कि G में order m का अधिक से अधिक एक subgroup है।

हल

मान लें H ≠ K, दोनों की order m। H ∩ K, H का subgroup है; Lagrange से उसकी order m का divisor, यानी 1 या m। m हो तो H = H ∩ K = K, विरोधाभास; अतः |H ∩ K| = 1।

|HK| = m·m/1 = m² > mn = |G| (क्योंकि m > n)

पर HK ⊆ G, विरोधाभास। अतः अधिक से अधिक एक subgroup (और वह normal होगा, क्योंकि उसके सभी conjugate भी order m के हैं)।

Q4UPSC 2025 · Paper II · 2(b)

दिखाइए कि integral domain ℤ[i] में 3 एक irreducible element है।

हल

N(a + bi) = a² + b² गुणनात्मक है; α unit ⇔ N(α) = 1। N(3) = 9 ≠ 1, अतः 3 unit नहीं।

मान लें 3 = αβ। तब N(α)N(β) = 9, यानी (N(α), N(β)) = (1, 9), (9, 1) या (3, 3)।

N(α) = 3 का अर्थ a² + b² = 3, पर वर्ग 0, 1, 4, … में से दो का योग 3 नहीं होता। अतः N(α) = 1 या N(β) = 1, यानी α या β unit है। इसलिए 3 irreducible है (और ℤ[i] PID होने से prime भी)।

Q5UPSC 2024 · Paper II · 2(b)

दिखाइए कि abelian group का हर homomorphic image abelian है, पर converse आवश्यक रूप से सत्य नहीं।

हल

φ : G → G′ homomorphism, G abelian। φ(G) के कोई दो element φ(a), φ(b):

φ(a)φ(b) = φ(ab) = φ(ba) = φ(b)φ(a)

अतः φ(G) abelian।

converse असत्य: sign-homomorphism sgn : S₃ → {1, −1} onto है; image {±1} abelian है पर S₃ non-abelian (जैसे (12)(13) ≠ (13)(12))। सबसे सरल उदाहरण: किसी भी non-abelian group से तुच्छ homomorphism, जिसका image {e} है।

Q6UPSC 2025 · Paper II · 4(a)

जाँचिए कि φ(f(x)) = f(0) द्वारा परिभाषित φ : ℤ[x] → ℤ homomorphism है या नहीं। निष्कर्ष निकालिए कि ⟨x⟩, ℤ[x] में prime ideal है, पर maximal ideal नहीं। (यही प्रश्न UPSC 2024 · Paper II · 4(a) में भी पूछा गया।)

हल

homomorphism: φ(f + g) = f(0) + g(0) = φ(f) + φ(g); φ(fg) = f(0)g(0) = φ(f)φ(g)। onto: constant polynomial n ↦ n।

kernel: ker φ = {f : f(0) = 0} = {f : constant term 0} = ⟨x⟩।

प्रथम isomorphism theorem: ℤ[x]/⟨x⟩ ≅ ℤ।

ℤ integral domain है ⇒ ⟨x⟩ prime।
ℤ field नहीं (2 का inverse नहीं) ⇒ ⟨x⟩ maximal नहीं।

प्रत्यक्ष रूप से भी: ⟨x⟩ ⊊ ⟨2, x⟩ ⊊ ℤ[x] (1 ∉ ⟨2, x⟩, क्योंकि उसके हर element का constant term सम है)।

Q7अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

ℤ₁₂ के सभी generator और सभी subgroup ज्ञात कीजिए। permutation σ = (1 2 3)(4 5)(6 7 8 9) की order ज्ञात कीजिए और बताइए कि वह सम है या विषम।

हल

generator: gcd(k, 12) = 1 वाले k: 1, 5, 7, 11 (φ(12) = 4)।

subgroup: 12 के हर divisor d के लिए एक: ⟨0⟩, ⟨6⟩ (order 2), ⟨4⟩ (3), ⟨3⟩ (4), ⟨2⟩ (6), ℤ₁₂ (12)।

σ की order = LCM(3, 2, 4) = 12। transpositions की संख्या 2 + 1 + 3 = 6 (सम) ⇒ σ even permutation है।

Q8अभ्यास प्रश्न · 15 अंक

दिखाइए कि ℤ[√−5] unique factorisation domain नहीं है।

हल

N(a + b√−5) = a² + 5b²। 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)।

N(2) = 4: यदि 2 = αβ अ-मात्रकों में, तो N(α) = 2, पर a² + 5b² = 2 असंभव ⇒ 2 irreducible।
N(3) = 9: N(α) = 3 असंभव ⇒ 3 irreducible।
N(1 ± √−5) = 6: उचित factor के लिए norm 2 या 3 चाहिए, असंभव ⇒ irreducible।

unit केवल ±1 हैं; 2, 1 ± √−5 का सहचारी नहीं। अतः 6 के दो भिन्न irreducible factorisation ⇒ UFD नहीं। (परिणाम: 2 irreducible है पर prime नहीं, क्योंकि 2 | (1 + √−5)(1 − √−5) पर किसी factor को विभाजित नहीं करता।)

13. Quick Revision Summary

परीक्षा से पहले एक बार ज़रूर पढ़ें

group: order-सूत्र; subgroup test; |HK| सूत्र; cyclic group के generator और subgroup।
Lagrange: coset; corollary; converse की विफलता (A₄)।
homomorphism: normal, quotient group; तीन isomorphism theorem; conserved गुण।
permutation: cycle, LCM, सम/विषम; Cayley theorem; order 6 के group।
ring: prime ⇔ R/P domain, maximal ⇔ R/M field; norm विधि; hierarchy और प्रति-उदाहरण।

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